|
Дано уравнение $$x^4+ax^3+bx^2+6x+2=0$$ Известны два корня: $%x_1 = \sqrt3 + 1, x_2 = - \sqrt3 - 1$%. Подставляю эти корни в данное уравнение, у меня получается $$44+25\sqrt3+12a\sqrt3+21a+3b+2b\sqrt3$$ $$-14-9a\sqrt3-2\sqrt3+10a-4b-2b\sqrt3$$ но я в этом не уверена, т.к постоянно допускаю вычислительные ошибки, а при проверке их находить не могу. Проверьте, пожалуйста, и помогите решить систему относительно а и b. задан 13 Янв '12 14:09 
кто |
|
Рассмотритм два подхода к поиску значений a и b:
Первый подход очевидно проще. $$\begin{cases} (\sqrt3+1)^4+a(\sqrt3+1)^3+b(\sqrt3+1)^2+6(\sqrt3+1)+2=0\\ (\sqrt3+1)^4-a(\sqrt3+1)^3+b(\sqrt3+1)^2-6(\sqrt3+1)+2=0 \end{cases}$$ Учитывая, $$(\sqrt3+1)^4=28+16\sqrt3$$ $$(\sqrt3+1)^3=10+6\sqrt3$$ $$(\sqrt3+1)^2=4+2\sqrt3$$ решаем систему уравнений. отвечен 13 Янв '12 14:37 
Васёк и не получается у меня ничего(((
(13 Янв '12 16:12)
кто
|
|
Поскольку $%x_1=-x_2=x_0=\sqrt3+1$%, имеем $$ \begin{cases} x_0^4+ax_0^3+bx_0^2+6x_0+2=0\\ x_0^4-ax_0^3+bx_0^2-6x_0+2=0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} ax_0^3+6x_0=0\\ x_0^4+bx_0^2+2=0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} a=-\frac{6}{x_0^2}\\ b=-x_0^2-\frac{2}{x_0^2} \end{cases} $$ Или $$ \begin{cases} a=-\frac{6}{(\sqrt3+1)^2}\\ b=-\sqrt3+1)^2 -\frac{2}{(\sqrt3+1)^2} \end{cases} $$ Вообще раскрытие иррациональных выражений лучше оставить на потом в силу их громоздкости. отвечен 13 Янв '12 18:29 
frr |
|
Может быть , предложение не в тему. Неясна суть примера. Поэтому поставим вопрос по другому. Найти многочлен с действительными коэффициентами и известными корнями. Тогда подставлять корни в многочлен не нужно. $$f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$$ Этот многочлен можно разложить на два квадратических множителя вида $$x^2+px+q$$ Корни этого многочлена выражаются парами вида $$x=U \pm \sqrt {V} $$. Вывод Мы имеем две пары корней $$x=1 \pm \sqrt {3} ; x=-1 \pm \sqrt {3} $$ Первая пара дает многочлен $$x^2-2x-2$$ (например, по теореме Виета). Вторая пара корней дает многочлен $$x^2+2x-2$$ Множим их формуле разность квадратов $$((x^2-2)-2x)\times ((x^2-2)+2x) = x^4-8x^2+4$$ Многочлен f(x) найден. отвечен 13 Янв '12 16:13 
ValeryB я не об этом
(13 Янв '12 16:50)
кто
|