Дано уравнение

$$x^4+ax^3+bx^2+6x+2=0$$

Известны два корня: $%x_1 = \sqrt3 + 1, x_2 = - \sqrt3 - 1$%. Подставляю эти корни в данное уравнение, у меня получается

$$44+25\sqrt3+12a\sqrt3+21a+3b+2b\sqrt3$$ $$-14-9a\sqrt3-2\sqrt3+10a-4b-2b\sqrt3$$

но я в этом не уверена, т.к постоянно допускаю вычислительные ошибки, а при проверке их находить не могу. Проверьте, пожалуйста, и помогите решить систему относительно а и b.

задан 13 Янв '12 14:09

изменен 13 Янв '12 14:38

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотритм два подхода к поиску значений a и b:

  1. подставить значение $%x_1, x_2$% в уравнение, в результате получится система из двух линейных уравнений относительно $%a$% и $%b$%, которая решается методами линейной алгебры,
  2. подставить значения $%x_1, x_2$% в соотношения, связывающие корни уравнения 4-ой степени согласно теореме Виета, в результате получится система уравнение относительно $%x_3, x_4, a, b$%.

Первый подход очевидно проще.

$$\begin{cases} (\sqrt3+1)^4+a(\sqrt3+1)^3+b(\sqrt3+1)^2+6(\sqrt3+1)+2=0\\ (\sqrt3+1)^4-a(\sqrt3+1)^3+b(\sqrt3+1)^2-6(\sqrt3+1)+2=0 \end{cases}$$

Учитывая,

$$(\sqrt3+1)^4=28+16\sqrt3$$ $$(\sqrt3+1)^3=10+6\sqrt3$$ $$(\sqrt3+1)^2=4+2\sqrt3$$

решаем систему уравнений.

ссылка

отвечен 13 Янв '12 14:37

и не получается у меня ничего(((

(13 Янв '12 16:12) кто
10|600 символов нужно символов осталось
1

Поскольку $%x_1=-x_2=x_0=\sqrt3+1$%, имеем

$$ \begin{cases} x_0^4+ax_0^3+bx_0^2+6x_0+2=0\\ x_0^4-ax_0^3+bx_0^2-6x_0+2=0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} ax_0^3+6x_0=0\\ x_0^4+bx_0^2+2=0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} a=-\frac{6}{x_0^2}\\ b=-x_0^2-\frac{2}{x_0^2} \end{cases} $$

Или

$$ \begin{cases} a=-\frac{6}{(\sqrt3+1)^2}\\ b=-\sqrt3+1)^2 -\frac{2}{(\sqrt3+1)^2} \end{cases} $$

Вообще раскрытие иррациональных выражений лучше оставить на потом в силу их громоздкости.

ссылка

отвечен 13 Янв '12 18:29

10|600 символов нужно символов осталось
0

Может быть , предложение не в тему. Неясна суть примера. Поэтому поставим вопрос по другому. Найти многочлен с действительными коэффициентами и известными корнями. Тогда подставлять корни в многочлен не нужно. $$f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$$ Этот многочлен можно разложить на два квадратических множителя вида $$x^2+px+q$$ Корни этого многочлена выражаются парами вида $$x=U \pm \sqrt {V} $$. Вывод Мы имеем две пары корней $$x=1 \pm \sqrt {3} ; x=-1 \pm \sqrt {3} $$ Первая пара дает многочлен $$x^2-2x-2$$ (например, по теореме Виета). Вторая пара корней дает многочлен $$x^2+2x-2$$ Множим их формуле разность квадратов $$((x^2-2)-2x)\times ((x^2-2)+2x) = x^4-8x^2+4$$ Многочлен f(x) найден.

ссылка

отвечен 13 Янв '12 16:13

изменен 13 Янв '12 16:36

я не об этом

(13 Янв '12 16:50) кто
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,037

задан
13 Янв '12 14:09

показан
1515 раз

обновлен
13 Янв '12 18:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru