алгебра - Сложная система уравнений

Положим $%z=\sqrt{x(x+y)+4}$%. Тогда второе уравнение имеет вид $%z^2+z-56=0$%. Его корни $%-8$% и $%7$%; отрицательное значение не подходит. Значит, $%x(x+y)=45$%. Это всё, что мы имеем из второго уравнения.

В первом уравнении положим $%t=\frac{x+\sqrt{x^2-y^2}}{x-\sqrt{x^2-y^2}}$%. Тогда из условия $%t+\frac1t=\frac{17}4$% мы приходим к квадратному относительно $%t$% уравнению, корни которого суть $%4$% и $%\frac14$%. Значит, имеет место один из двух случаев: $%x+\sqrt{x^2-y^2}=4(x-\sqrt{x^2-y^2})$% или $%x-\sqrt{x^2-y^2}=4(x+\sqrt{x^2-y^2})$%. Это значит, что $%3x=5\sqrt{x^2-y^2}$% или $%3x=-5\sqrt{x^2-y^2}$%, причём знаменатели дробей не должны обращаться в ноль.

При возведении в квадрат мы в обоих случаях имеем $%9x^2=25(x^2-y^2)$%, то есть $%16x^2=25y^2$%, откуда $%4x=\pm5y$%. Тогда $%y=\pm\frac45x$%. Если $%y=\frac45x$%, то $%x+y=\frac95x$%, и уравнение из первого абзаца даёт $%\frac95x^2=45$%. Это значит, что либо $%x=5$%, $%y=4$%, либо $%x=-5$%, $%y=-4$%. В обоих этих случаях $%\sqrt{x^2-y^2}=3$%, и $%t$% принимает допустимое значение $%4$% или $%\frac14$%, то есть при проверке всё подходит.

Если $%y=-\frac45x$%, то $%x+y=\frac15x$%, и уравнение из первого абзаца даёт $%\frac15x^2=45$%. Здесь либо $%x=15$%, $%y=-12$%, либо $%x=-15$%, $%y=12$%. В обоих случаях $%\sqrt{x^2-y^2}=9$%, и $%t$% принимает те же значения, что и выше, то есть проверка проходит.

Итого получили четыре решения.