Являются ли континуальными множества R^n и R^(inf)? Как доказать?

задан 15 Апр '16 17:49

10|600 символов нужно символов осталось
0

Первое множество является в силу известного утверждения Кантора о равномощности прямой и плоскости: $%\mathbb R\sim\mathbb R^2$%. Отсюда по индукции получается, что $%\mathbb R^2\sim\mathbb R\times\mathbb R\sim\mathbb R\times\mathbb R^2\sim\mathbb R^3$%, и так далее, то есть все $%\mathbb R^n$% попарно равномощны.

Вторая запись вида $%\mathbb R^{\infty}$% не вполне корректна, потому что бесконечности бывают разные. Имеется в виду здесь $%\mathbb R^{\mathbb N}$% (в счётной степени), и тогда ответ также положителен. Действительно, мощность множества всех подмножеств натурального ряда есть континуум, то есть $%2^{\mathbb N}\sim\mathbb R$%. Отсюда $%\mathbb R^{\mathbb N}\sim(2^{\mathbb N})^{\mathbb N}\sim2^{\mathbb N\times\mathbb N}\sim2^{\mathbb N}\sim\mathbb R$%.

ссылка

отвечен 15 Апр '16 18:19

@falcao не могли бы вы привести указанное рассуждение по индукции?

(24 Янв '17 19:08) tofikk

@tofikk: могу, конечно, но Вы и сами могли бы это сделать, так как тут всё описано. Надо доказать, что $%\mathbb R^n\sim\mathbb R^{n+1}$%. При $%n=1$% это утверждение Кантора. Теперь предположим, что доказываемое верно для $%n=k$%. При $%n=k+1$% получается $%\mathbb R^{k+1}=\mathbb R^k\times\mathbb R\sim\mathbb R^{k+1}\times\mathbb R=\mathbb R^{k+2}$%.

(24 Янв '17 21:13) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×417
×33

задан
15 Апр '16 17:49

показан
773 раза

обновлен
24 Янв '17 21:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru