анализ - Континуальные множества

Первое множество является в силу известного утверждения Кантора о равномощности прямой и плоскости: $%\mathbb R\sim\mathbb R^2$%. Отсюда по индукции получается, что $%\mathbb R^2\sim\mathbb R\times\mathbb R\sim\mathbb R\times\mathbb R^2\sim\mathbb R^3$%, и так далее, то есть все $%\mathbb R^n$% попарно равномощны.

Вторая запись вида $%\mathbb R^{\infty}$% не вполне корректна, потому что бесконечности бывают разные. Имеется в виду здесь $%\mathbb R^{\mathbb N}$% (в счётной степени), и тогда ответ также положителен. Действительно, мощность множества всех подмножеств натурального ряда есть континуум, то есть $%2^{\mathbb N}\sim\mathbb R$%. Отсюда $%\mathbb R^{\mathbb N}\sim(2^{\mathbb N})^{\mathbb N}\sim2^{\mathbb N\times\mathbb N}\sim2^{\mathbb N}\sim\mathbb R$%.