В треугольнике $%ABC$% точка пересечения высот $%H$%, центр описанной окружности $%O$% и центр вневписанной окружности $%I_a$% лежат на одной прямой. Обязательно ли треугольник $%ABC$% равнобедренный?

задан 15 Апр '16 22:29

10|600 символов нужно символов осталось
4

$%M$% - точка пересечения медиан, $%H$% - точка пересечения высот , $%O$% - центр описанной окружности.

Точки $%M, O, H$% лежат на прямой Эйлера. Тогда на этой прямой должна лежать и точка $%I_a$%.

Барицентрические координаты точек: $$M \rightarrow(1,1,1), O \rightarrow (\sin(2\alpha), \sin(2\beta), \sin(2\gamma)), I_a \rightarrow(-\sin(\alpha), \sin(\beta), \sin(\gamma))$$

Тогда условие того, что точки $%M, O,I_a$% лежат на одной прямой запишется в виде:

$$\left | \begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ -\sin(\alpha) & \sin(\beta) & \sin(\gamma) \\ \sin(2\alpha) & \sin(2\beta) & \sin(2\gamma)
\end{array}\right | = 0$$

$$\Leftrightarrow \cos \left( \frac{\alpha-\beta}{2}\right )\sin \left( \frac{\beta-\gamma}{2} \right)\cos \left( \frac{\gamma-\alpha}{2}\right )\cos \left( \frac{\alpha}{2}\right )\sin \left( \frac{\beta}{2} \right)\sin \left( \frac{\gamma}{2}\right )=0$$ $$\Rightarrow \beta =\gamma$$

Поэтому точки $%H,O,I_a$% лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда $%\triangle ABC$% равнобедренный $%(AB=AC)$%.

ссылка

отвечен 29 Июн '16 20:59

1

@Sergic Primazon: я помню эту задачу. Какое-то время назад пытался её решать, и хотел построить контрпример в виде тупоугольного треугольника, пользуясь соображениями непрерывности. Оказывается, тут ответ положительный.

(29 Июн '16 21:06) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×415
×20

задан
15 Апр '16 22:29

показан
341 раз

обновлен
29 Июн '16 21:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru