математический-анализ - Вычислить предел

Легко заметить, что $%f_1(\cos t)=4\cos^3t-3\cos t=\cos3t$%. Отсюда $%f_2(\cos t)=f_1(\cos3t)=\cos9t$%, и далее по индукции $%f_n(\cos t)=\cos3^nt$%.

В интеграле $%\int\limits_{-1}^1f_n(x)^2\,dx$% можно сделать замену $%x=\cos t$% с учётом монотонности косинуса на отрезке $%[0;\pi]$%. Получится $%\int\limits_0^{\pi}\cos^23^nt\sin t\,dt$% (знак "минус" исчезает вместе с переменой мест пределов интегрирования).

Далее представляем квадрат косинуса в виде $%\frac{1+\cos2\cdot3^n}2$%, и слагаемое $%\frac12\sin t$% после интегрирования даёт $%1$%. Оставшуюся часть записываем как $%\frac12\cos mt\sin t=\frac14(\sin(m+1)t-\sin(m-1)t)$%, где $%m=2\cdot3^n$% -- чётное число. Первообразная равна $%\frac14(\frac{\cos(m-1)t}{m-1}-\frac{\cos(m+1)t)}{m+1})$%. Разность значений косинусов в точках $%\pi$% и $%0$% равна $%-2$% за счёт нечётности чисел $%m\pm1$%. Определённый интеграл от оставшейся части получается равен $%\frac12(\frac1{m+1}-\frac1{m-1})=-\frac1{m^2-1}$%.

Итоговое значение: $%\int\limits_{-1}^1f_n(x)^2\,dx=1-\frac1{4\cdot3^{2n}-1}$%, что стремится к $%1$% при $%n\to\infty$%.