Здравствуйте!

Пытаюсь разобраться с ускорением материальной точки, движущейся по криволинейной траектории.

Насколько я понял, понятие скорости точки вводится как вектор, коллинеарный единичному вектору касательной:

$$ \mathbf{v}=v_\tau \mathbf{\tau} $$

(единичный вектор касательной не выделяется жирным шрифтом)

Дифференцируем это уравнение и получаем следующее выражение:

$$ \mathbf{a}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\frac{dv_\tau}{dt}\mathbf{\tau}+v_\tau\frac{d\mathbf{\tau}}{dt} $$

Первое слагаемое есть тангенциальное ускорение. С ним все понятно.

Так как мы дифференцируем единичный вектор касательной, то его длина всегда одна и та же. Это означает, что скалярный квадрат этого вектора равен константе (в данном случае единице):

$$ \tau^2=1 $$

Дифференцируем данное выражение:

$$ 2\frac{d\tau}{dt}\tau = 0 $$

Откуда очевидно, что производная единичного вектора касательной перпендикулярна ему.

Далее мы преобразуем второе слагаемое следующим образом:

$$ v_\tau\frac{d\tau}{dt} = v_\tau\frac{d\tau}{dl}\frac{dl}{dt} = v_\tau^2\frac{d\tau}{dl} $$

К сожалению, дальше в рассуждениях я продвинуться не могу.

Известно, что кривизна кривой есть передел средней кривизны, когда дуга стягивается в точку:

$$ k = \lim_{\Delta l\to 0}|\frac{\Delta \alpha}{\Delta l}| = |\frac{d\alpha}{dl}| $$

Надо каким-то образом показать, что:

$$ \frac{d\tau}{dl}=\frac{d\alpha}{dl} $$

Пояснительная картинка: http://hostingkartinok.com/show-image.php?id=3f4b9ba7f67f044d1c05cb7b5471eb4a

Как это строго доказать?

=== Своя попытка ===

Рассмотрим угол между векторами касательной в разные моменты времени (угол смежности):

$$ \Delta\alpha R = \Delta l \Leftrightarrow \Delta\alpha = \frac{\Delta l}{R} $$

Но $% R = const $%, поэтому стремление $% \Delta l \to 0 $% означает стремление $% \Delta\alpha \to 0 $%.

Теперь найдем длину хорды $% d\tau $%:

$$ d\tau = 2R\sin\left(\frac{\Delta\alpha}{2}\right) $$

Но радиус нашей окружности есть единичный вектор касательной, а значит радиус равен $% 1 $%.

Окончательно:

$$ d\tau = 2\sin\left(\frac{\Delta\alpha}{2}\right) $$

Рассмотрим теперь производную $% \frac{d\tau}{dl} $%. По определению:

$$ \frac{d\tau}{dl} = \lim_{\Delta l \to 0} \frac{\Delta\tau}{\Delta l} = \lim_{\begin{cases} \Delta l \to 0 \\ \Delta\alpha \to 0 \end{cases}}\frac{2\sin\left(\frac{\Delta\alpha}{2}\right)}{\Delta l} $$

Но при $% \frac{\alpha}{2}\to 0 $% имеем эквивалентность $% \sin\left(\frac{\Delta\alpha}{2}\right) \sim \frac{\Delta\alpha}{2} $%.

Таким образом мы доказали равенство производных $% \frac{d\tau}{dl}=\frac{d\alpha}{dl} $%, откуда следует, что:

$$ a_n=v_{\tau}^2 k=\frac{v_{\tau}^2}{\rho} $$

Это мы получили модуль центростремительного ускорения. Ну и естественно осталось добавить единичный нормальный вектор для указания ортогональности касательной и нормального ускорения.

Так правильно?

задан 17 Апр '16 13:31

изменен 17 Апр '16 17:28

10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,355
×170
×19

задан
17 Апр '16 13:31

показан
305 раз

обновлен
17 Апр '16 17:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru