математика - Доказать, что алгебра кватернионов изоморфна

Рассмотрим алгебру кватернионов как 4-мерное векторное пространство над $%\mathbb R$% с базисом $%1$%, $%i$%, $%j$%, $%k$%. Каждому кватерниону $%z$% сопоставим линейное преобразование алгебры, при котором осуществляется домножение элемента алгебры слева на $%z$%, то есть $%w\mapsto zw$% для всех $%w\in\mathbb H$%. Такое преобразование запишем матрицей $%A_z$% в указанном выше базисе. Легко понять, что $%z\mapsto A_z$% будет гомоморфизмом алгебр. Очевидно также, что ядро будет нулевым (по причине наличия единицы в алгебре), то есть мы имеем изоморфизм на образ.

Ввиду того, что любой кватернион можно разложить по базису в виде $%z=a\cdot1+bi+cj+dk$%, для соответствующих матриц будем иметь $%A_z=aA_1+bA_i+cA_j+dA_k$%, где $%A_1=E$%. Остальные три матрицы будут равны в точности $%I$%, $%J$%, $%K$% из условия задачи, что следует из правил умножения кватернионных единиц, а также определения матриц линейных операторов. Скажем, при умножении базисных векторов на $%j$% слева мы получим соответственно $%j\cdot1=j$%, $%j\cdot i=-k$%, $%j^2=-1$%, $%j\cdot k=i$%. Записывая координаты каждого из этих четырёх элементов в столбцы матрицы, мы получим в точности $%J$%, и аналогично для остальных случаев.

В условии было бы точнее сказать, что $%\mathbb H$% изоморфна подалгебре матриц, являющейся линейной оболочкой четырёх матриц $%E$%, $%I$%, $%J$%, $%K$%.