1) Дан треугольник АВС , АВ=2,АС=4, ВАС=120 градусов. Найти косинус угла между медианами к стороне АВ и стороне АС.

2) МАВС- пирамида,все ребра равны. На ребре АМ выбрана точка Р, такая что 2АР=РМ, на ребре МВ выбрана такая точка Т, что 2МТ=ТВ. Найти косинус угла между СР и АТ.

задан 28 Апр '16 9:26

изменен 28 Апр '16 9:27

10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Введём базисные векторы $%x=\vec{AC}$% и $%y=\vec{AB}$%. Пусть $%B_1$% -- середина $%AC$%, и $%C_1$% -- середина $%AB$%. Тогда векторы медиан имеют следующие разложения по базису: $%\vec{BB_1}=\vec{AB_1}-\vec{AB}=\frac12x-y$% и $%\vec{CC_1}=\vec{AC_1}-\vec{AC}=\frac12y-x$%.

Косинус угла между этими векторами найдём при помощи скалярных произведений. Прежде всего, $%x\cdot y=|x|\cdot|y|\cdot\cos120^{\circ}=-4$%. Отсюда $%|\frac12x-y|^2=\frac14x\cdot x+y\cdot y-x\cdot y=12$% и $%|\frac12y-x|^2=\frac14y\cdot y+x\cdot x-x\cdot y=21$%. Далее, $%(\frac12x-y)\cdot(\frac12y-x)=\frac54x\cdot y-\frac12x\cdot x-\frac12y\cdot y=-15$%, откуда косинус угла между векторами медиан равен $%\frac{(\frac12x-y)\cdot(\frac12y-x)}{|\frac12x-y|\cdot|\frac12y-x|}=-\frac{15}{\sqrt{12}\sqrt{21}}=-\frac5{2\sqrt7}$%.

Под углом между прямыми понимается наименьший из углов, ими образованный, поэтому ответом будет $%\arccos\frac5{2\sqrt7}\approx0,333$%, то есть около 19 градусов.

2) Введём базисные векторы $%x=\vec{MA}$%, $%y=\vec{MB}$%, $%z=\vec{MC}$%. Тогда $%\vec{MP}=\frac23x$%, $%\vec{MT}=\frac13y$%, откуда $%\vec{CP}=\vec{MP}-\vec{MC}=\frac23x-z$% и $%\vec{AT}=\vec{MT}-\vec{MA}=\frac13y-x$%.

Примем длины всех рёбер за единицу (на величину угла это не влияет). Тогда $%x\cdot y=x\cdot z=y\cdot z=\frac12$%. Отсюда через скалярные квадраты легко найти длины векторов: $%|\frac23x-z|=\frac{\sqrt7}3$% и $%|\frac13y-x|=\frac{\sqrt7}3$% (то, что эти длины равны, легко также увидеть геометрически из равных друг другу треугольников). Далее, скалярное произведение равно $%(\frac23x-z)\cdot(\frac13y-x)=-\frac29$%. Следовательно, косинус угла между векторами равен $%-\frac27$%, и угол между прямыми составляет $%\arccos\frac27\approx1,28$%, то есть примерно 73,4 градуса.

ссылка

отвечен 28 Апр '16 21:19

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,510
×633
×439
×193
×36

задан
28 Апр '16 9:26

показан
328 раз

обновлен
28 Апр '16 21:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru