Дано уравнение $%f(x,y)=0$%, где $%f$% - элементарная функция, определенная на множестве комплексных чисел. Необходимо найти $%x,y\in\mathbb{R}:f(x,y)=0$%, т.е. решить уравнение в вещественных числах.
Есть ли какие-то общие методы решения данной задачи, кроме как выделение действительной и мнимой частей функции?

ПРАВКА:
Уравнения данного типа часто вытекают из задач двумерной геометрии/физики. В роли переменных $%x, y$% могут выступать длины отрезков, углы, скорости, скорости вращения. Так что, вероятный класс задач: функция $%f(x,y)$% является полиномом конечной степени от $%x,y,e^{cx},e^{ky}$%, где $%c,k$% - некоторые комплексные константы

задан 6 Ноя '12 16:27

сделан общим 11 Ноя '12 0:06

Насколько сложным может быть f(x, y)? Нельзя ли привести еще примеры?

(9 Ноя '12 10:11) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
2

Приведенный пример я бы решал так $$xe^{iy}-1-i=0 => ln(x)+iy=ln(1+i)=>ln(x)+iy=\frac{ln2}{2}+i \frac{\pi}{4}=> \left\{ \begin{matrix}x=\sqrt{2} \\y=\frac{\pi}{4}\end{matrix} \right.$$ А вообще говоря, от отображения $%\mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}$%, которое Вы рассматриваете, нужно переходить либо к отображению $%\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$%, либо к отображению $%\mathbb{C} \to \mathbb{C}$%. Общий способ первого перехода - выделение действительной и мнимой частей, второго - замена переменных $%(x,y) \to (z,\bar{z})$%

ссылка

отвечен 8 Ноя '12 16:58

простите меня, дурака, но можете показать пример решения вторым способом?

(8 Ноя '12 22:52) chameleon

Второй способ эффективен, если для функции f, выполняются условия Коши-Римана, т.е. если она, на самом деле, является функцией комплексного переменного. Например, $$x^2+2ixy-y^2=1+i=>z^2=1+i$$. Имеет ли он смысл в общем случае, когда f зависит и от $%z$%, и от $%\bar{z}$% - сказать не могу.

(8 Ноя '12 23:24) Андрей Юрьевич

Вот мне и показалось, что не имеет смысла, поэтому я и попросил пример.

(8 Ноя '12 23:40) chameleon

Можно взять такой пример $$\frac{x+iy}{x-iy}=x^2+y^2$$. Переходя к $%(z,\bar{z})$%, получаем $$\frac{z}{\bar{z}}=z \bar{z}$$, откуда $%\bar{z}^2=1$% и сразу получаются 2 решения $%(1,0)$% и $%(-1,0)$%

(9 Ноя '12 0:09) Андрей Юрьевич
10|600 символов нужно символов осталось
1

Судя по Вашей записи, f задана не на комплексной плоскости, а на вещественной! Для комплексной плоскости надо бы записать $%f(z) = 0$%, где $%z\in \mathbb C$%. Если, например, f - полином, то методы решения можно взять из теории действительных уравнений. Особенно. если f - квадратный полином. Да и вообще почти все свойства элементарных функций переносятся на комплексную плоскость (кроме свойств порядка). Так что и методы те же.

Например, если $%z^3 +2z =0$%, решениями будут $%0, 2i, -2i$%, отсюда можно найти и (x, y).

ссылка

отвечен 6 Ноя '12 18:39

изменен 6 Ноя '12 18:42

Чтоб задача была яснее, приведу пример: $$f(x,y)=xe^{iy}-1-i$$ $$x=\sqrt2; y=\frac\pi 4$$

(6 Ноя '12 20:12) chameleon

О, @chameleon прорезался, а я и не заметила, отвечаю, как будто чайнику! Извините! Вы чего хотите - чтобы решили это уравнение? Или каких-то философских рассуждений?

Это конкретное уравнение я бы решала так: $%e^{iy}={1+i\over x}$%, откуда $%|{1+i\over x}|=1$%. Тогда легко находится x, а за ним и y, только он будет с периодом.

(6 Ноя '12 20:32) DocentI

Ага, именно философских рассуждений. Нужна методика, которую можно применить к широкому классу подобных уравнений, а не только к данному примеру.
Проблема метода, описанного мной ранее (при помощи системы уравнений), заключается в том, что реальная и мнимая части функции, как правило, намного сложнее обычной функции: содержат больше операций, насыщены тригонометрией (после применения формулы Эйлера), что делает полученную систему уравнений труднорешаемой.

(6 Ноя '12 21:02) chameleon

Ох, это сложно... Решение уравнений - всегда искусство, кроме самых тривиальных. Вы бы хоть класс очертили...

Возможная рекомендация - перейти в самом уравнении от (x, y) к z. Но это тоже часто громоздко. Например, в Вашем примере: $%{z\over |z|}Re z =1+i$%, но в общем случае, если использовать алгебраическое представление, будет сложнее.

(6 Ноя '12 22:48) DocentI

Даже если Вы представите свои функции как функции от z, как Вы будете решать уравнение, в котором объединены полином и показательная функция?
Для некоторых случаев можно уединить $%e^{ig}$%, где g - вещественная функция от x, y, тогда можно использовать то, что модуль этой функции равен 1.

(9 Ноя '12 10:07) DocentI

Спасибо. Похоже, что мой вопрос общий и не имеет решения как таковой((

(10 Ноя '12 16:20) chameleon
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×435
×358

задан
6 Ноя '12 16:27

показан
4439 раз

обновлен
11 Ноя '12 0:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru