|
Дано уравнение $%f(x,y)=0$%, где $%f$% - элементарная функция, определенная на множестве комплексных чисел. Необходимо найти $%x,y\in\mathbb{R}:f(x,y)=0$%, т.е. решить уравнение в вещественных числах. ПРАВКА: |
|
Приведенный пример я бы решал так $$xe^{iy}-1-i=0 => ln(x)+iy=ln(1+i)=>ln(x)+iy=\frac{ln2}{2}+i \frac{\pi}{4}=> \left\{ \begin{matrix}x=\sqrt{2} \\y=\frac{\pi}{4}\end{matrix} \right.$$ А вообще говоря, от отображения $%\mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}$%, которое Вы рассматриваете, нужно переходить либо к отображению $%\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$%, либо к отображению $%\mathbb{C} \to \mathbb{C}$%. Общий способ первого перехода - выделение действительной и мнимой частей, второго - замена переменных $%(x,y) \to (z,\bar{z})$% отвечен 8 Ноя '12 16:58 
Андрей Юрьевич простите меня, дурака, но можете показать пример решения вторым способом?
(8 Ноя '12 22:52)
chameleon
Второй способ эффективен, если для функции f, выполняются условия Коши-Римана, т.е. если она, на самом деле, является функцией комплексного переменного. Например, $$x^2+2ixy-y^2=1+i=>z^2=1+i$$. Имеет ли он смысл в общем случае, когда f зависит и от $%z$%, и от $%\bar{z}$% - сказать не могу.
(8 Ноя '12 23:24)
Андрей Юрьевич
Вот мне и показалось, что не имеет смысла, поэтому я и попросил пример.
(8 Ноя '12 23:40)
chameleon
Можно взять такой пример $$\frac{x+iy}{x-iy}=x^2+y^2$$. Переходя к $%(z,\bar{z})$%, получаем $$\frac{z}{\bar{z}}=z \bar{z}$$, откуда $%\bar{z}^2=1$% и сразу получаются 2 решения $%(1,0)$% и $%(-1,0)$%
(9 Ноя '12 0:09)
Андрей Юрьевич
|
|
Судя по Вашей записи, f задана не на комплексной плоскости, а на вещественной! Для комплексной плоскости надо бы записать $%f(z) = 0$%, где $%z\in \mathbb C$%. Если, например, f - полином, то методы решения можно взять из теории действительных уравнений. Особенно. если f - квадратный полином. Да и вообще почти все свойства элементарных функций переносятся на комплексную плоскость (кроме свойств порядка). Так что и методы те же. Например, если $%z^3 +2z =0$%, решениями будут $%0, 2i, -2i$%, отсюда можно найти и (x, y). отвечен 6 Ноя '12 18:39 
DocentI Чтоб задача была яснее, приведу пример: $$f(x,y)=xe^{iy}-1-i$$ $$x=\sqrt2; y=\frac\pi 4$$
(6 Ноя '12 20:12)
chameleon
О, @chameleon прорезался, а я и не заметила, отвечаю, как будто чайнику! Извините!
Вы чего хотите - чтобы решили это уравнение? Или каких-то философских рассуждений? Это конкретное уравнение я бы решала так: $%e^{iy}={1+i\over x}$%, откуда $%|{1+i\over x}|=1$%. Тогда легко находится x, а за ним и y, только он будет с периодом.
(6 Ноя '12 20:32)
DocentI
Ага, именно философских рассуждений. Нужна методика, которую можно применить к широкому классу подобных уравнений, а не только к данному примеру.
(6 Ноя '12 21:02)
chameleon
Ох, это сложно... Решение уравнений - всегда искусство, кроме самых тривиальных. Вы бы хоть класс очертили... Возможная рекомендация - перейти в самом уравнении от (x, y) к z. Но это тоже часто громоздко. Например, в Вашем примере: $%{z\over |z|}Re z =1+i$%, но в общем случае, если использовать алгебраическое представление, будет сложнее.
(6 Ноя '12 22:48)
DocentI
Даже если Вы представите свои функции как функции от z, как Вы будете решать уравнение, в котором объединены полином и показательная функция?
(9 Ноя '12 10:07)
DocentI
Спасибо. Похоже, что мой вопрос общий и не имеет решения как таковой((
(10 Ноя '12 16:20)
chameleon
показано 5 из 6
показать еще 1
|
Насколько сложным может быть f(x, y)? Нельзя ли привести еще примеры?