диофантовы-уравнения - Уравнение $%x^2-xy-y^2=1$%

Прежде всего заметим, что:

$$4(x^2 - xy - y^2) = (2x-y)^2-5y^2,$$

поэтому мы можем перейти к уравнению:

$$t^2-5z^2 = 4.$$

Положив $%t = 2a$% и $%z = 2b$% мы перейдем к хорошо известному уравнению Пелля:

$$a^2 - 5b^2 = 1.$$

Понятно, что пара $%(a,b)$% есть решение этого уравнения тогда и только тогда, тогда число $%a+\sqrt{5}b$% имеет норму $%1$% в кольце $%\mathbb{Z}[5]$%. Итак, теперь мы ищем все единицы в это кольце. Из теоремы Дирихле о единицах следует, что, в данном случае, все единицы кольца $%\mathbb{Z}[5]$% имею вид $%\pm \varepsilon^n$%, $%n\in\mathbb{Z}$% где $%\varepsilon$% --- это фундаментальная единица поля $%\mathbb{Q}[5]$%. Известно, что для полей типа $%\mathbb{Q}[5]$% $%\varepsilon = \frac{a +\sqrt{5}b}{2}$%, где $%(a,b)$% --- это минимальное натуральное решение уравнения $%a^2 - 5b^2 = 4$%. Итак, мы имеем $%\varepsilon = \frac{3 +\sqrt{5}}{2}$% и общее решение $%(a,b)_n=\pm\left ( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right )^n$% (вообще эти числа могут быть не целыми, но пара $%(t,z) = (2a,2b)$% уже точно будет целой, поэтому мы берем их всех).

Осталось выразить: $%(x,y)_n=(a+b,2b)_n$%. Еще надо учесть тривиальное решение $%(\pm 1,0).$%

Например: $$(x_1,y_1)=(2,1)$$ $$(x_2,y_2)=(5,2)$$ $$(x_3,y_3)=(13,8)$$ $$...$$ $$(x_{10},y_{10})=(10946,6765)$$ $$...$$