Решить в натуральных числах уравнение: $$x^2-xy-y^2=1$$ задан 29 Апр '16 12:05 Роман83 |
Прежде всего заметим, что: $$4(x^2 - xy - y^2) = (2x-y)^2-5y^2,$$ поэтому мы можем перейти к уравнению: $$t^2-5z^2 = 4.$$ Положив $%t = 2a$% и $%z = 2b$% мы перейдем к хорошо известному уравнению Пелля: $$a^2 - 5b^2 = 1.$$ Понятно, что пара $%(a,b)$% есть решение этого уравнения тогда и только тогда, тогда число $%a+\sqrt{5}b$% имеет норму $%1$% в кольце $%\mathbb{Z}[5]$%. Итак, теперь мы ищем все единицы в это кольце. Из теоремы Дирихле о единицах следует, что, в данном случае, все единицы кольца $%\mathbb{Z}[5]$% имею вид $%\pm \varepsilon^n$%, $%n\in\mathbb{Z}$% где $%\varepsilon$% --- это фундаментальная единица поля $%\mathbb{Q}[5]$%. Известно, что для полей типа $%\mathbb{Q}[5]$% $%\varepsilon = \frac{a +\sqrt{5}b}{2}$%, где $%(a,b)$% --- это минимальное натуральное решение уравнения $%a^2 - 5b^2 = 4$%. Итак, мы имеем $%\varepsilon = \frac{3 +\sqrt{5}}{2}$% и общее решение $%(a,b)_n=\pm\left ( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right )^n$% (вообще эти числа могут быть не целыми, но пара $%(t,z) = (2a,2b)$% уже точно будет целой, поэтому мы берем их всех). Осталось выразить: $%(x,y)_n=(a+b,2b)_n$%. Еще надо учесть тривиальное решение $%(\pm 1,0).$% Например: $$(x_1,y_1)=(2,1)$$ $$(x_2,y_2)=(5,2)$$ $$(x_3,y_3)=(13,8)$$ $$...$$ $$(x_{10},y_{10})=(10946,6765)$$ $$...$$ отвечен 29 Апр '16 13:57 Sunbro Меня бесит местная обработка $%\TeX$%... я понятия не имею, что не так в последней строке.
(29 Апр '16 13:59)
Sunbro
|
отвечен 29 Апр '16 14:09 klass09 Я решал примерно эти же способом. Если (x,y) -- решение, то (2x+y,x+y) -- тоже решение, что проверяется подстановкой. В обратную сторону от (a,b) приходим к (a-b,2b-a), и за конечное число шагов приходим к (2,1). И там будут числа Фибоначчи.
(29 Апр '16 14:25)
falcao
|