Решить в натуральных числах уравнение: $$x^2-xy-y^2=1$$

задан 29 Апр '16 12:05

10|600 символов нужно символов осталось
2

Прежде всего заметим, что:

$$4(x^2 - xy - y^2) = (2x-y)^2-5y^2,$$

поэтому мы можем перейти к уравнению:

$$t^2-5z^2 = 4.$$

Положив $%t = 2a$% и $%z = 2b$% мы перейдем к хорошо известному уравнению Пелля:

$$a^2 - 5b^2 = 1.$$

Понятно, что пара $%(a,b)$% есть решение этого уравнения тогда и только тогда, тогда число $%a+\sqrt{5}b$% имеет норму $%1$% в кольце $%\mathbb{Z}[5]$%. Итак, теперь мы ищем все единицы в это кольце. Из теоремы Дирихле о единицах следует, что, в данном случае, все единицы кольца $%\mathbb{Z}[5]$% имею вид $%\pm \varepsilon^n$%, $%n\in\mathbb{Z}$% где $%\varepsilon$% --- это фундаментальная единица поля $%\mathbb{Q}[5]$%. Известно, что для полей типа $%\mathbb{Q}[5]$% $%\varepsilon = \frac{a +\sqrt{5}b}{2}$%, где $%(a,b)$% --- это минимальное натуральное решение уравнения $%a^2 - 5b^2 = 4$%. Итак, мы имеем $%\varepsilon = \frac{3 +\sqrt{5}}{2}$% и общее решение $%(a,b)_n=\pm\left ( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right )^n$% (вообще эти числа могут быть не целыми, но пара $%(t,z) = (2a,2b)$% уже точно будет целой, поэтому мы берем их всех).

Осталось выразить: $%(x,y)_n=(a+b,2b)_n$%. Еще надо учесть тривиальное решение $%(\pm 1,0).$%

Например: $$(x_1,y_1)=(2,1)$$ $$(x_2,y_2)=(5,2)$$ $$(x_3,y_3)=(13,8)$$ $$...$$ $$(x_{10},y_{10})=(10946,6765)$$ $$...$$

ссылка

отвечен 29 Апр '16 13:57

изменен 30 Апр '16 9:45

Меня бесит местная обработка $%\TeX$%... я понятия не имею, что не так в последней строке.

(29 Апр '16 13:59) Sunbro
10|600 символов нужно символов осталось
1
ссылка

отвечен 29 Апр '16 14:09

Я решал примерно эти же способом. Если (x,y) -- решение, то (2x+y,x+y) -- тоже решение, что проверяется подстановкой. В обратную сторону от (a,b) приходим к (a-b,2b-a), и за конечное число шагов приходим к (2,1). И там будут числа Фибоначчи.

(29 Апр '16 14:25) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×118

задан
29 Апр '16 12:05

показан
752 раза

обновлен
30 Апр '16 9:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru