Докажите, что существует выпуклая вверх (т.е. вогнутая) непрерывная функция g(x), такая что g(x) >= f(x) для любого аргумента из отрезка [0; 1] и g(0) = 0 = g(1). Условия на функцию f: функция непрерывна на том же отрезке и значения на концах равны и равны 0.

задан 4 Май '16 7:08

изменен 4 Май '16 7:09

Я думаю, что я решил эту задачу, но мое решение достаточно трудное (мне нужна свертка функций, хотя, можно и без нее, но тогда будет громоздко). Если простого решения не появится, то я постараюсь вечером написать свое.

(4 Май '16 12:16) Sunbro

@Tzara: этот вопрос где-то уже задавали, но я не смог найти ссылку. В одном месте есть повтор, но там решение не приведено. А где-то решене было -- там сверху "домик" строился, но деталей я не помню. Потом можно будет попробовать ещё поискать.

(4 Май '16 12:25) falcao

@falcao Я сначала строю бесконечно дифференцируемую на $%(0,1)$% функцию, потом с ее помощью строю выпуклую вниз, потом беру ее обратную.

(4 Май '16 12:33) Sunbro

Что-то я недопонял...

$%f$% - фиксирована и требуется построить $%g$%?...

Или $%g$% существует для любой $%f$%?...

(4 Май '16 13:23) all_exist

@all_exist: требуется для любой функции f построить функцию g (зависящую от f).

(4 Май '16 14:12) falcao

Я нашел у себя ошибку, поэтому решения у меня нет. Могу свести задачу к случаю, когда $%f$% бесконечно дифференцируема и на (0,1) ее производная меняет свой знак лишь раз.

(4 Май '16 19:51) Sunbro
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
3

Сведём задачу к случаю, когда значения функции $%f$% неотрицательны, заменяя $%f$% на новую функцию $%\max(0,f(x))=\frac12(f(x)+|f(x)|)$%. Ясно, что она не меньше $%f(x)$%, и значения на концах равны нулю. Поэтому далее считаем, что $%f(x)\ge0$% всюду на отрезке.

Идея такая: надо взять "подграфик" функции $%f(x)$% и рассмотреть его выпуклую оболочку. Тогда её "верхняя часть" окажется графиком искомой функции $%g(x)$%, которая будет выпкула вниз ввиду выпуклости её "подграфика".

Формально поступаем так: для любого $%x\in[0;1]$% рассматриваем все наборы чисел вида $%0\le x_1\le x\le x_2\le1$%. Значения функции в точках $%x_1$% и $%x_2$% нам известны. Если на отрезке $%[x_1,x_2]$% функция была бы линейной, то значение её в точке $%x$% составляло бы $%\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x-x_1)+f(x_1)$% при $%x_1 < x_2$%, а в противном случае, то есть при $%x_1=x=x_2$%, оно равно $%f(x_1)=f(x_2)$%. Теперь для каждого фиксированного $%x\in[0;1]$% рассматриваем максимум по всем $%x_1,x_2$% с указанными выше условиями, то есть $%g(x)=\max\limits_{x_1\le x\le x_2}\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x-x_1)+f(x_1)$% (с учётом оговорки для случая $%x_1=x_2$%).

Функция двух переменных $%h_x(x_1,x_2)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x-x_1)+f(x_1)$%, заданная на $%[0;x]\times[x;1]$%, является непрерывной. Для точек $%x_1 < x < x_2$% это прямо следует из непрерывности функции $%f$%. Случаи $%x_1=x\le x_2$% и $%x_1\le x=x_2$% анализируются отдельно, и непосредственно видно, что при $%x_2\to x+0$% и $%x_1\to x-0$% соответственно, значение функции стремится к $%h_x(x,x)=f(x)$%. Непрерывная функция двух переменных на компакте принимает наибольшее значение, поэтому максимум достигается, и $%g(x)$% определена корректно. Из общих соображений следует, что функция получается непрерывная.

Очевидно как то, что $%g(x)\ge f(x)$%, так и то, что $%g(0)=g(1)=0$%. Выпуклость вверх следует из построения, так как мы фактически рассмотрели выпуклую оболочку "подграфика", которая является "подграфиком" для $%g(x)$%.

ссылка

отвечен 4 Май '16 21:49

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×139

задан
4 Май '16 7:08

показан
625 раз

обновлен
4 Май '16 21:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru