При каких натуральных n дробь (2n+1)/(n^2-1) несократима?

задан 6 Май '16 6:40

Если дробь сократима, то некоторое простое число p делит числитель и знаменатель. Если p делит n^2-1, то оно делит n-1 или n+1. Рассматриваем два случая: 1) p|2n+1, p|n-1. Тогда p делит 2n+1-2(n-1)=3, то есть p=3. Это случай, когда n при делении на 3 даёт в остатке 1. Случай 2): p|2n+1, p|n+1. Так быть не может, поскольку в этом случае p делит 2(n+1)-(2n+1)=2. Ответ: дробь несократима, если n-1 не делится на 3.

(6 Май '16 7:47) falcao

@falcao, почему p-простое?

(6 Май '16 8:34) bbbbbb

Это здесь совершенно не важно, но логично сокращать дробь на простое число.

(6 Май '16 8:46) spades

@bbbbbb: дробь сократима тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель делятся одновременно на одно и то же простое число. Это достаточно очевидно, поскольку всякое число, большее 1, делится на некоторое простое. Тут полезно иметь в виду, что мы не обязаны отслеживать максимальное число, на которое дробь можно сократить. Скажем, вы видите дробь 40572/7776. Сразу видно, что она сократима, а на что именно её в итоге можно сократить -- это надо отдельно проверять.

Иметь простое число в рассуждении удобно потому, что из делимости на p произведения можно сделать вывод о делимости множителя.

(6 Май '16 8:54) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×173

задан
6 Май '16 6:40

показан
496 раз

обновлен
6 Май '16 8:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru