Решить уравнение:

$$\sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+ … +(x–3)\sqrt{(x+2) + (x–2)\sqrt{1}}}}}$$ = $$\sqrt {1 + 2\sqrt {1 + 3\sqrt {1 + … + (y – 1)\sqrt {1 + y\sqrt{1}}}}}$$

Для примера $%\sqrt{1+\sqrt{2+3\sqrt{}7}}...$% Спасибо Вам, @Anatoliy. Едва удержался, чтобы не дать Вам клятву верности: "Век воли не видать!"
@chameleon! При x - 3 = 2 для верхнего ряда и при y - 1 = 2 для нижнего ряда все промежуточные результаты равны для обоих рядов... Я понимаю Вашу неудовлетворённость от ТАКОГО решения. Остаётся на душе что-то вроде Ощущения от ловли ящерицы: хвост в руках, а ящерица исчезла! Я однажды в детстве поймал одну и помню такое ощущение. В память об этой ящерице и сочинил задачу. (У той ящерицы хвост давым-давно отрос, а потом, конечно, она, Волею Божьей, помре и тоже давным-давно... Балагурю, за что меня и отлучат от математики. А за что, спрашивается?! За то, что познакомил уважаемое Сообщество с двумя рядами великого Рамануджана?!)

задан 8 Ноя '12 19:56

изменен 17 Ноя '12 23:16

Применяйте фигурные скобки.

(8 Ноя '12 20:37) Anatoliy

Нет, с левой стороны, вдали от уравнений стоит почти незаметный знак равенства, то есть первая строка равна второй

(8 Ноя '12 20:39) epimkin

Ну, конечно, Вы, @epimkin, правы... @Anatoliy, а как применять фигурные скобки, чтобы продлить полочки? Если бы Вы исправили мою писанину, я в правке увидел бы, как это надо делать. Поделитесь опытом.

(8 Ноя '12 20:47) nikolaykruzh...

хммм, а к чему там корни из одного?

(8 Ноя '12 22:57) chameleon

Н-ну, знаете ли, чтобы наверху, в последнем радикале не извлекать корень из 2x, а внизу - как следствие такого же эффекта

(8 Ноя '12 23:07) nikolaykruzh...

И что это за пример такой? Он не равен и даже не похож ни на левую, ни на правую часть исходного уравнения, ни при каких иксах. Интуиция мне подсказывает, что Вы написали не то, что имели в виду. Хотя бы потому, что Ваше уравнение не имеет решений.

(8 Ноя '12 23:16) chameleon

Ищите - и обрящете. Вы все x-ы проверили? Вы ещё не проверили тот x, при котором решение есть. Пока Вы будете препираться с автором, @ASailyan найдёт ответ: x = (?).

(8 Ноя '12 23:30) nikolaykruzh...

Ок, публикую решение в "ответах", будем препираться там.

(8 Ноя '12 23:41) chameleon

@nikolaykruzh..., Ваш ответ в правке неверен, потому что сам термин "решение уравнения" означает, что для левой и правой частей уравнения икс должен быть одинаковым

(11 Ноя '12 1:20) chameleon

Если и таи, и там x должен иметь одно и то же значение, то прощай знак равенства, и уравнения нет как такового. Так - что? Безвыходное положение? Задача типа "надеть штаны через голову"? Если двое дерутся, то умного среди них не ищи. Будем искать компромисс? Или выкинуть этот вопрос как неудачный? Этого мне делать не хотелось бы из-за имени С. Рамануджана. Он-то тут не причём! Ряды действительно интересные! Дискредитируют своих талантливых учителей бесталанные последователи. Итак! Я кликаю Ваш ответ как правильный, заменяю в нижнем ряду x на y и - заключаем мировую. Так - что?

(11 Ноя '12 17:59) nikolaykruzh...
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
1

Уравнение можно переписать в следующем виде (для формальности записи): $$L_0=1;L_{i+1}=\sqrt{x+2-i+(x-2-i)L_i}$$ $$R_0=1;R_{i+1}=\sqrt{1+(x-i)R_i}$$ $$L_{x-3}=R_{x-1}$$ Если это не то, что имел в виду автор, то я не виноват, надо изначально записывать условие формально и без ошибок.
И так, решаем. Обе части уравнения имеют смысл только при целых иксах, не меньших тройки. Вычислим значения левой и правой частей для некоторых значений икса...

x     L        R
3    1.0    2.23607  
4  2.82843  2.55983  
5  3.51063  2.75505  
6  3.78693  2.86710  
7  3.90475  2.92917  
8  3.95666  2.96272  
9  3.98003  2.98055  
10 3.99071  2.98992

Из данной таблицы можно увидеть, что при всех иксах, кроме тройки, левая часть больше правой, следовательно они никогда не равны. Также видно, что при увеличении икса левая часть плавно стремится к 4, а правая - к 3.
Докажем, что правая часть не превышает 3. Предположим обратное: при некотором $%x=x_0$%, $%R_{x-1} \ge 3$%. Пройдемся по последовательности $%R$% в обратном направлении: $$R_i=\frac{R_{i+1}^2-1}{x-i}$$ Для $%R_{x-1}=3$% легко найти саму последовательность: $%R_i=x+2-i$%. Тогда $%R_0=x+2$%, что больше единицы - противоречие.
Для $%R_{x-1} > 3$%, $%R_0$% будет еще больше, т.к. каждый член последовательности будет явно больше, чем при $%R_{x-1}=3$%.
Следовательно, правая часть всегда меньше тройки. Следовательно, правая часть меньше левой для всех $%x > 3$%. Следовательно, уравнение не имеет решений.

ссылка

отвечен 9 Ноя '12 0:25

Вы получили значения известных бесконечных рядов С. Рамануджана. Верхний равен 4, нижний - 3. Осталось найти неизвестное значение x, при котором оба ряда имеют одно и то же значение.

(9 Ноя '12 21:40) nikolaykruzh...
1

Я получил значения всех рядов, а не только бесконечных. Левая не равна правой ни при каких исках. Если вы имели в виду, что последовательности должны быть бесконечными, то так и напишите в условии.

(10 Ноя '12 16:18) chameleon

Верхний ряд: $$\frac{4^{2}-6}{2}= 5$$; $$\frac{5^{2}-7}{3}= 6$$; $$\frac{6^{2}-8}{4}=7$$; $$\frac{7^{2}-9}{5}= 8$$ и т. д. Нижний ряд:$$\frac{3^{2}-1}{2}=4$$; $$\frac{4^{2}-1}{3}= 5$$ и т. д.

(10 Ноя '12 22:40) nikolaykruzh...
1

Пытаюсь подставить 19 в левую часть. под самым внутренним корнем получаем $%2x=38$%, далее $%20 + 16\sqrt {38}\approx 119$%. Корни не извлекаются! Судя по Вашим рассуждениям, "внутренний" корень должен быть равен 17, а не около 6 !

Ведь @chameleon привел Вам доказательство! Все еще верите в чудеса?

(10 Ноя '12 23:17) DocentI

Уважаемая @DocentI! Я не смог закончить свой комментарий: что-то мне там написали, что, вроде бы, ко мне нет никакого уважения. Поэтому я пошёл на поле вопроса и там объяснился, как мог... А в чудеса всегда верил. Думаю, что Господь ходил по воде и не тонул, - это Правда. И что хлебом накормил 5 000 человек. И т. д. И не один я такой верующий! Чудеса помогают жить с мыслью, что не один ты на земле, что к тебе всегда придёт на помощь небесная сила, погладит по головке и не упрекнёт за то, что ты неправильно сочинил задачу. Всё-таки люди - недобрые по свой сути в отличие от Господа. (Нет знаков

(11 Ноя '12 0:57) nikolaykruzh...
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,946

задан
8 Ноя '12 19:56

показан
824 раза

обновлен
17 Ноя '12 23:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru