|
$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin (tg (x))-tg(sin(x))}{arcsin(arctg(x))-arctg(arcsin(x))}$$ Этот предел не берется по Лопиталю и раскладывается в ряд Тейлора до $%o(x^7)$%, что тоже не выглядит простым решением. Существует решение этого предела исходя из его более-менее симметричного и обратного строения. Меня больше интересует "простое" решение (способ получить ответ), пусть даже оно не будет строго математическим. Wolfram выдает на этот предел 1. задан 9 Ноя '12 19:26 
Balon |
|
Думаю, если и числитель, и знаменатель имеют порядок $%x^7$%, никакими "выкрутасами" этот факт не обойти! А вообще интересно, можно ли как-то обобщить этот предел на другие прямые и обратные функции? Попробовала рассмотреть вместо sin и tg любые нечетные функции, эквивалентные x. Можно ли это доказать без вычислений - не знаю... отвечен 9 Ноя '12 23:54 
DocentI Все значительно проще.
(10 Ноя '12 12:19)
Anatoliy
Читайте внимательно условие задачи. Думаю, что правомерность есть.
(10 Ноя '12 12:29)
Anatoliy
А Вы докажите! Ваш метод называется очень просто: подгонка к ответу!
(10 Ноя '12 12:43)
DocentI
Примените Ваш метод к пределу $%\lim_{x\to 0}{\sin(tg x)-tg(\sin x)\over x^7}$%. По Вашему методу получится бесконечность. А на самом деле это константа.
(10 Ноя '12 14:57)
DocentI
Это совсем другой пример. Я думаю, что можно и на достаточно высоком уровне обосновать мои переходы. Автор задачи не ставил такой цели. Что касается интуиции и подгонки, то это разные сущности.
(10 Ноя '12 17:34)
Anatoliy
Если Вы решаете пример на основе интуиции, то зачем так сложно? Замените все $%arcsin$% в знаменателе на $%sin$%, все $%arctg$% - на $%tg$% - и получите точно единицу!
(10 Ноя '12 19:08)
DocentI
Интуиция меня не подвела! Wolfram это подтвердил. Первый ответ верный, второй - нет. Читайте :"Меня больше интересует "простое" решение (способ получить ответ), пусть даже оно не будет строго математическим"
(10 Ноя '12 19:43)
Anatoliy
1
Постановка вопроса, конечно, странная. Но это не значит, что надо вводить человека в заблуждение! Предлагаю другой способ решения задачи.
(10 Ноя '12 19:56)
DocentI
показано 5 из 8
показать еще 3
|
|
Извиняюсь,но почему нельзя сделать так: Отсюда, разделив оба неравенства, получим: $%tg(sin(a))/sin(tg(b))$% = 1. Пусть порядок малости а относительно в будет равен к, тогда, так как функции эквивалентны,то коэффициент порядка для данных функций будет равен -к (по определению), т.е. $%tg(sin(x))/sin(tg(x)) = {x}^{-k}$%. Тогда наша функция примет вид: Возможно, я и ошибаюсь, но в чем же? отвечен 13 Ноя '12 5:53 
nagibin1995 Пока не думала серьезно, но точно нет теоремы о том что при $%f \sim g$% и $%h(f) \sim h(g)$%. Это не всегда верно. Подумала. На самом деле, хотя отношение $%a/b$% стремится к 1, но их разность имеет порядок $%x^7$%. То есть в Ваших обозначениях k = 0 и последнее отношение равно $%0/0$% - невозможно!
(13 Ноя '12 20:33)
DocentI
Случай из жизни. Одна студентка в контрольной раскрывала неопределенность $%0\over 0$% и написала: "Прибавим к числителю и знаменателю 1, дробь от этого не пострадает". Мое резюме: "Не знаю как дробь, а Ваша оценка точно пострадает". При таком подходе $%0\over 0$% всегда будет равно 1
(13 Ноя '12 20:43)
DocentI
Ошибок, как минимум, 2. Во-первых, $$tg(sin(x))/sin(tg(x))=x^{−k}$$ - это откуда?! Если функции эквивалентны, то их отношение в нулевом порядке равно единице! Во-вторых, переход от $$(sin(tg(x))−tg(sin(x)))/(b−a)$$ к $$(1−tg(sin(x))/(sin(tg(x)))/(1−a/b)$$ тоже неверный. С чего это $$sin(tg(x))$$ превратилось в $%b$%?
(16 Ноя '12 23:17)
Андрей Юрьевич
|
|
$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin (tg (x))-tg(sin(x))}{arcsin(arctg(x))-arctg(arcsin(x))}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin (sin (x))-tg(sin(x))}{sin(arcsin(x))-tg(arcsin(x))}=$$ $$=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin (sin (x))\cdot(cos(sin(x))-1)\cdot cos(arcsin(x))}{sin (arcsin (x))\cdot(cos(arcsin(x))-1)\cdot cos(sin(x))}=$$ $$=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin (x)\cdot(cos(sin(x))-1)\cdot cos(sin(x))}{x\cdot(cos(sin(x))-1)\cdot cos(sin(x))}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{sin(x)}{x}=1.$$ отвечен 9 Ноя '12 19:48 
Anatoliy Довольно смело! Знаменатель не раскладывала, но числитель действительно имеет порядок $%x^7$%, хотя коэффициент зависит, помнится, только от пятых степеней в Тейлоре для sin и tg. Вы меняете $%\sin(tg x)$% на $%\sin(\sin x)$%, но разность между этими значениями имеет порядок $%x^3$% и не может входить в главную часть числителя! Это слагаемое сокращается, если записать числитель в виде суммы $%(\sin(tg x)-\sin(\sin x))+(\sin(\sin x)-tg(\sin x))$%
(9 Ноя '12 22:59)
DocentI
@Anatoliy, после Вашей замены числитель равен
(9 Ноя '12 23:16)
DocentI
Все-таки просмотрите до конца. Я заменял бесконечно малую эквивалентной бесконечно малой $%(\alpha\sim sin\alpha\sim arcsin\alpha\sim tg\alpha \sim arctg\alpha ). $%
(10 Ноя '12 12:17)
Anatoliy
Нет! Нельзя заменять на эквивалентные в сумме (без дополнительного обоснования). Мы уже это раньше обсуждали, но тот пример можно было легко "довести до ума" с помощью о-малых. Здесь же Вы фактически представляете величину порядка $%x^7$% как разность величин порядка $%x^3$% (см. первый мой коммент), а потом одну из них отбрасываете. Дальше смотреть нет смысла, уже здесь нарушена эквивалентность.
(10 Ноя '12 12:24)
DocentI
Кстати, не существует также правила, что можно заменять на эквивалентную величину аргумент функции. Я раньше пыталась сформулировать достаточные условия для такой замены, но что-то ничего путного не вышло...
(10 Ноя '12 12:41)
DocentI
|
Решение, которое не является "математическим" - это что-то непонятное. Могу предложить разве что приближенные вычисления. Я попробовала на Excel вычислить эту дробь в точках $%1/2^n$%, она сошлась к 1 очень быстро!