$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin (tg (x))-tg(sin(x))}{arcsin(arctg(x))-arctg(arcsin(x))}$$

Этот предел не берется по Лопиталю и раскладывается в ряд Тейлора до $%o(x^7)$%, что тоже не выглядит простым решением. Существует решение этого предела исходя из его более-менее симметричного и обратного строения. Меня больше интересует "простое" решение (способ получить ответ), пусть даже оно не будет строго математическим.

Wolfram выдает на этот предел 1.

задан 9 Ноя '12 19:26

изменен 10 Ноя '12 11:57

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

Решение, которое не является "математическим" - это что-то непонятное. Могу предложить разве что приближенные вычисления. Я попробовала на Excel вычислить эту дробь в точках $%1/2^n$%, она сошлась к 1 очень быстро!

(10 Ноя '12 19:10) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
1

Думаю, если и числитель, и знаменатель имеют порядок $%x^7$%, никакими "выкрутасами" этот факт не обойти!

А вообще интересно, можно ли как-то обобщить этот предел на другие прямые и обратные функции?

Попробовала рассмотреть вместо sin и tg любые нечетные функции, эквивалентные x.
Пусть $%f(x) = x + a_1x^3 + b_1x^5 + c_1 x^7 + o(x^8)$%. Для g(x) формула аналогична, только индекс заменим на 2. Имеем
$%f(g(x)) = x + (a_1+ a_2)x^3 + (b_1 + b_2 +3a_1a_2)x^5 + (c_1 + c_ 2 + 3a_1b_2 + 5a_2 b_1 + 3 a_1a_2^2)x^7 + o(x^8)$%
Антисимметризация дает результат $$f(g(x))-g(f(x)) = (2(a_2b_1-a_1b_2) + 3a_1a_2(a_2-a_1))x^7 + o(x^8)$$ Как изменится это выражение, если перейти к обратным функциям? Подставим вместо g обратную функцию $%f^{-1}$%, коэффициенты ее обозначим через $%a'_1, b'_1, ...$%. Тогда должно выполняться равенство $%f(f^{-1}(x)) = x$%, так что "штрихованные" коэффициенты удовлетворяют соотношениям
$$a_1+a'_1 = 0; b_1 + b'_1 +3a_1a'_1 = 0 ...$$ Остальные равенства нам не нужны, так как в окончательную формулу $%c_i$% не входят. Подставляя полученные из этих равенств значения $%a'_i, b'_i$% вместо $%a_i, b_i$% получаем, что "штрихованный" коэффициент при $%x^7$% равен нештрихованному.

Можно ли это доказать без вычислений - не знаю...

ссылка

отвечен 9 Ноя '12 23:54

изменен 10 Ноя '12 0:23

Все значительно проще.

(10 Ноя '12 12:19) Anatoliy

Читайте внимательно условие задачи. Думаю, что правомерность есть.

(10 Ноя '12 12:29) Anatoliy

А Вы докажите! Ваш метод называется очень просто: подгонка к ответу!
Я вообще удивляюсь Вашей аргументации. Вы заменили в числителе выражение порядка $%x^7$% на выражение порядка $%x^3$% и говорите, что так и надо... Просто Вы в знаменателе сделали такую же ошибку, они и компенсировались.
Может, Вы как-то согласовали две замены? Но это невозможно, так как при таких действиях теряется существенная информация.
Мне сейчас некогда, но через часок я приведу Вам контрпример.

(10 Ноя '12 12:43) DocentI

Примените Ваш метод к пределу $%\lim_{x\to 0}{\sin(tg x)-tg(\sin x)\over x^7}$%. По Вашему методу получится бесконечность. А на самом деле это константа.

(10 Ноя '12 14:57) DocentI

Это совсем другой пример. Я думаю, что можно и на достаточно высоком уровне обосновать мои переходы. Автор задачи не ставил такой цели. Что касается интуиции и подгонки, то это разные сущности.

(10 Ноя '12 17:34) Anatoliy

Если Вы решаете пример на основе интуиции, то зачем так сложно? Замените все $%arcsin$% в знаменателе на $%sin$%, все $%arctg$% - на $%tg$% - и получите точно единицу!
Правда, если, наоборот, заменить $%arcsin$% на $%tg$%, а $%arctg$% на $%sin$%, то получим (-1). Какой же ответ верный?
Вы просто удачно "испортили" пример, так как 1 - это частый ответ. Если бы настоящее значение было равно, например, 2/3, так легко вы бы не отделались!

(10 Ноя '12 19:08) DocentI

Интуиция меня не подвела! Wolfram это подтвердил. Первый ответ верный, второй - нет. Читайте :"Меня больше интересует "простое" решение (способ получить ответ), пусть даже оно не будет строго математическим"

(10 Ноя '12 19:43) Anatoliy
1

Постановка вопроса, конечно, странная. Но это не значит, что надо вводить человека в заблуждение! Предлагаю другой способ решения задачи.
$%\lim_{x\to 0}{sin(tg(x))−tg(sin(x))\over arcsin(arctg(x))−arctg(arcsin(x))} = \lim_{x\to 0}{2(\sqrt {e^x} -1)\over x} = \lim_{x\to 0}{e^x -1\over x} = 1$%. Моя интуиция покруче будет!

(10 Ноя '12 19:56) DocentI
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
2

Извиняюсь,но почему нельзя сделать так:
$$а:= arcsin(arctg x), $$ $$b:= arctg(arcsin x), $$ $$tg(sin(a)) = x; $$ $$sin(tg(b))=x. $$

Отсюда, разделив оба неравенства, получим: $%tg(sin(a))/sin(tg(b))$% = 1. Пусть порядок малости а относительно в будет равен к, тогда, так как функции эквивалентны,то коэффициент порядка для данных функций будет равен -к (по определению), т.е. $%tg(sin(x))/sin(tg(x)) = {x}^{-k}$%.

Тогда наша функция примет вид:
$%(sin(tg(x)) - tg(sin(x)))/(b-a)$%.
Разделив обе части на $%(sin(tg(x))$%,получим: $%(1- tg(sin(x))/ (sin(tg(x))) /(1 - a/b)$%, что эквивалентно $%(1-{x}^{-k})/(1-{x}^{-k})$% , что, в свою очередь эквивалентно 1. Ч.т.д.


Возможно, я и ошибаюсь, но в чем же?

ссылка

отвечен 13 Ноя '12 5:53

изменен 13 Ноя '12 19:53

Deleted's gravatar image


126

Пока не думала серьезно, но точно нет теоремы о том что при $%f \sim g$% и $%h(f) \sim h(g)$%. Это не всегда верно.

Подумала. На самом деле, хотя отношение $%a/b$% стремится к 1, но их разность имеет порядок $%x^7$%. То есть в Ваших обозначениях k = 0 и последнее отношение равно $%0/0$% - невозможно!

(13 Ноя '12 20:33) DocentI

Случай из жизни. Одна студентка в контрольной раскрывала неопределенность $%0\over 0$% и написала: "Прибавим к числителю и знаменателю 1, дробь от этого не пострадает". Мое резюме: "Не знаю как дробь, а Ваша оценка точно пострадает".

При таком подходе $%0\over 0$% всегда будет равно 1

(13 Ноя '12 20:43) DocentI

Ошибок, как минимум, 2. Во-первых, $$tg(sin(x))/sin(tg(x))=x^{−k}$$ - это откуда?! Если функции эквивалентны, то их отношение в нулевом порядке равно единице! Во-вторых, переход от $$(sin(tg(x))−tg(sin(x)))/(b−a)$$ к $$(1−tg(sin(x))/(sin(tg(x)))/(1−a/b)$$ тоже неверный. С чего это $$sin(tg(x))$$ превратилось в $%b$%?

(16 Ноя '12 23:17) Андрей Юрьевич
10|600 символов нужно символов осталось
1

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin (tg (x))-tg(sin(x))}{arcsin(arctg(x))-arctg(arcsin(x))}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin (sin (x))-tg(sin(x))}{sin(arcsin(x))-tg(arcsin(x))}=$$

$$=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin (sin (x))\cdot(cos(sin(x))-1)\cdot cos(arcsin(x))}{sin (arcsin (x))\cdot(cos(arcsin(x))-1)\cdot cos(sin(x))}=$$ $$=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin (x)\cdot(cos(sin(x))-1)\cdot cos(sin(x))}{x\cdot(cos(sin(x))-1)\cdot cos(sin(x))}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{sin(x)}{x}=1.$$

ссылка

отвечен 9 Ноя '12 19:48

Довольно смело! Знаменатель не раскладывала, но числитель действительно имеет порядок $%x^7$%, хотя коэффициент зависит, помнится, только от пятых степеней в Тейлоре для sin и tg.

Вы меняете $%\sin(tg x)$% на $%\sin(\sin x)$%, но разность между этими значениями имеет порядок $%x^3$% и не может входить в главную часть числителя! Это слагаемое сокращается, если записать числитель в виде суммы $%(\sin(tg x)-\sin(\sin x))+(\sin(\sin x)-tg(\sin x))$%
Если даже ответ верный, Вам просто повезло.

(9 Ноя '12 22:59) DocentI

@Anatoliy, после Вашей замены числитель равен
$%sin(sin(x))−tg(sin(x))< 0.$%
А попробуйте, наоборот, заменить $%tg$% во втором слагаемом. Получите числитель
$%sin(tgx)−sin(sinx)>0!$%

(9 Ноя '12 23:16) DocentI

Все-таки просмотрите до конца. Я заменял бесконечно малую эквивалентной бесконечно малой $%(\alpha\sim sin\alpha\sim arcsin\alpha\sim tg\alpha \sim arctg\alpha ). $%

(10 Ноя '12 12:17) Anatoliy

Нет! Нельзя заменять на эквивалентные в сумме (без дополнительного обоснования). Мы уже это раньше обсуждали, но тот пример можно было легко "довести до ума" с помощью о-малых. Здесь же Вы фактически представляете величину порядка $%x^7$% как разность величин порядка $%x^3$% (см. первый мой коммент), а потом одну из них отбрасываете. Дальше смотреть нет смысла, уже здесь нарушена эквивалентность.
Если так рассуждать, почему бы не заменить все tg на sin? Тогда в числителе вообще будет 0! При других разнообразных "заменах" Вашего типа можно получить и -1 и бесконечность.

(10 Ноя '12 12:24) DocentI

Кстати, не существует также правила, что можно заменять на эквивалентную величину аргумент функции. Я раньше пыталась сформулировать достаточные условия для такой замены, но что-то ничего путного не вышло...

(10 Ноя '12 12:41) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×528
×322

задан
9 Ноя '12 19:26

показан
1753 раза

обновлен
16 Ноя '12 23:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru