sin(x-2a)+sin((x^2-4x+5a)/2)=-x^2+2x-a. При каких ф не имеет решения уравнение. У самого не получилось

задан 14 Май '16 16:11

10|600 символов нужно символов осталось
1

Можно заметить, что $%(x^2 - 2x + a) - 2(x - 2a) = x^2 - 4x + 5a$%... То есть после введения новых переменных $%\eta = 4(x^2 - 2x + a)$% и $%\xi = x - 2a$%, получим уравнение $%\sin(\xi) + \sin(2\eta - \xi) = -4\eta$% или $%\sin(\eta) \cdot \cos(\eta - \xi) = -2\eta$% ...

Полученное уравнение имеет единственное решение $%\eta = 0$% при любом значении $%\xi$% (это следует их того, что произведение синусов имеет производную не превосходящую единицу, а справа стоит функция с производной равной $%-2$%)... а поскольку $%\eta$% является квадратичным выражением, то отсутствие корней будет при отрицательном дискриминанте...

ссылка

отвечен 14 Май '16 16:55

10|600 символов нужно символов осталось
1

Требуется определить, при каких $%a$% не имеет решений уравнение $%f(x)=x^2-2x+\sin(x-2a)+\sin\frac{x^2-4x+5a}2+a=0$%. Функция $%f(x)$% непрерывна, и при достаточно больших $%x$% она принимает положительные значения. Следовательно, корней не будет тогда и только тогда, когда $%f(x) > 0$% для всех $%x$%.

В частности, это должно быть верно при $%x=1$%, то есть $%\sin(1-2a)+\sin\frac{5a-3}2 > 1-a$%. Заметим, что $%\sin(x-2a)+\sin\frac{x^2-4x+5a}2=2\sin\frac{x^2-2x+a}2\cos\frac{x^2-6x+9a}2$%. Ввиду неравенств $%|\sin t|\le|t|$%, $%|\cos t|\le1$%, модуль суммы синусов не превосходит $%|x^2-2x+a|$%. В частности, при $%x=1$% получается, что $%|a-1| > 1-a$%, откуда $%a > 1$%.

Это условие является необходимым. Оно же является достаточным, поскольку при $%a > 1$% число $%\frac{x^2-2x+a}2=\frac{(x-1)^2+a-1}2$% положительно. Для положительных $%t$% имеет место строгое неравенство $%|\sin t| < t$%. Поэтому модуль суммы синусов строго меньше $%x^2-2x+a$%, и тогда сумма синусов строго больше $%-x^2+2x-a$%, откуда следует, что $%f(x) > 0$% для всех $%x$%.

ссылка

отвечен 14 Май '16 17:06

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×16

задан
14 Май '16 16:11

показан
335 раз

обновлен
14 Май '16 17:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru