Решите систему уравнений

$%\begin{cases}x + y+z = 9\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+ \frac{1}{z} =1\\xy+xz+yz=27\end{cases}$%

задан 14 Май '16 22:08

10|600 символов нужно символов осталось
3

Сразу видно, что решением будет $%x=y=z=3$%.

Если нужно решение, то возможен такой способ: во втором уравнении умножаете обе части на $%xyz$% получаете $%yz+xz+xy=xyz$%. Из третьего уравнения в системе видим, что $%yz+xz+xy=27$%, то есть $%xyz=27$%. Ну а затем уже достаточно легко все выразить и решить.

Попросили о полном решении, так как я знаю лишь школьную математику, то я бы решил так.

После того, что я сказал имеем систему из трех уравнений:

$%\begin{cases}x + y+z = 9\Rightarrow x+y=9-z \\ xyz=27\Rightarrow xy=\frac {27}{z} \\xy+xz+yz=27\Rightarrow xy+z(x+y)-27=0 \end{cases}$%

Подставляя выраженные значения в третье уравнение в системе имеем:

$%\frac {27}{z}+z(9-z)-27=0;$%

$%\frac {27}{z}+9z-z^2-27=0(\times (-z));$%

$%z^3-9z^2+27z-27=0.$%

Полученное ни что иное как формула разности кубов $%a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3$%, применяя ее имеем:

$%(z-3)^3=0 \Rightarrow z=3$%.

Возвращаемся к системе, первых двух уравнений будет достаточно, для нахождения $%x,y$%:

$%\begin{cases}x+y+3=9\Rightarrow x=6-y \\ 3xy=27\Rightarrow xy=9 \end{cases}$%

Подставляя выраженное значение из первого уравнения во второе, раскрывая скобки и умножая полученное уравнение на $%-1$% получаем:

$%y^2-6y+9=0$% - обычное квадратное уравнение дискриминант которого равен нулю, то есть уравнение имеет единственный корень $%y=3$%.

Зная $%y$% и $%z$% из первого уравнения легко найти $%x=3$%.

Ответ: $%x=y=z=3$%.

ссылка

отвечен 14 Май '16 22:49

изменен 15 Май '16 13:12

Да, всё верно. В конце можно также применить неравенство о среднем, или рассмотреть многочлен от t, равный (t-x)(t-y)(t-z)=t^3-9t^2+27t-27=(t-3)^3, что означает x=y=z=3.

(14 Май '16 23:00) falcao

Я прошу прощения, но можете написать полное решение, желательно с объяснениями, чтобы я понял. Спасибо

(14 Май '16 23:10) Makso99

@Makso99: здесь уже дано полное решение. Соедините вместе сказанное в ответе и в комментарии. Если непонятна какая-то мысль или фраза -- уточняйте.

(14 Май '16 23:16) falcao

@Makso99, написал полное решение (решал систему на школьном уровне), надеюсь оно Вам понятно. Буду рад если Вы отметите мой ответ как верный :-)

(15 Май '16 13:06) telcom
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,299
×1,104
×304

задан
14 Май '16 22:08

показан
558 раз

обновлен
15 Май '16 13:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru