Математическая статистика.

№1 Составляете функцию правдоподобия... она будет иметь вид $$ L(X,t)=f(x_1,t)\cdot\ldots f(x_n,t) =\frac{t\cdot \exp(-t^2\cdot A)}{B} $$ где $%A=\sum\frac{1}{2x_k}$%, а $%B$% произведение знаменателей плотностей (но оно нас дальше интересовать не будет)... Дальше, находите производную по параметру $%t$% функции правдоподобия и приравняв к нулю получаете две критические точки $%t=\pm t_0$%... отбросили лишний корень и сказали, что поскольку на бесконечности функция правдоподобия стремится к нулю, и в нуле она равна нулю, то $%t=+ t_0$% - точка максимума...

====================================

№2 Составляете функцию правдоподобия... она будет иметь вид $$ L(X,t)=f(x_1,t)\cdot\ldots f(x_n,t) =\frac{1}{2^n}\cdot \exp\left(-\sum_{k=1}^{n}\;|x_k-t|\right) $$ Максимум функции правдоподобия соответствует минимуму суммы из степени экспоненты...

Рассмотрим некоторое значение параметра $%t$%, слева от которого находится $%m$% элементов выборки, а справа $%r$% элементов... Поскольку модуль разности - это расстояние между точками, то сдвиг параметра на $%\Delta t$% увеличивает все расстояния на величину сдвига... при этом расстояние до одной группы элементов выборки увеличивается, а до другой - уменьшается, в зависимости от знака $%\Delta t$%...

Таким образом, значение функции правдоподобия изменится на $$ \Delta L=m\Delta t-r\Delta t=(m -r)\Delta t $$ Понятно, что при $%m -r\neq 0$% знаки $%\Delta L$% и $%\Delta t$% совпадают, следовательно, в таких точках $%t$% функция правдоподобия не имеет экстремума...

Таким образом, максимум достигается при $%m - r= 0$%, что соответствует медиане выборки, то есть "серединному элементу" при нечётном объёме выборки и "серединному интервалу" при чётном объёме выборки...

ПыСы: поскольку выборка имеет непрерывное распределение, то я проводил рассуждения для выборок с неповторяющимися элементами... аналогичные рассуждения можно провести и в случае повторяющихся элементов...