|
Число $%m$% можно представить в одном из видов: $%m=3n-2;m=3n-1;m=3n, n \in N.$% $%13\cdot 3^{k}+86 = m^{3}\Leftrightarrow13\cdot 3^{k}+3^4 = m^{3}-5.$% При $%k=1, m=5.$% Пусть $%k>1$%, тогда: 1) $%m=3n$% - решений нет. 2) $%m=3n-2; 3^{k}+3^4 = m^{3}-5\Leftrightarrow3^{k}+3^4=3^3n^3-2\cdot3^3n^2+4\cdot3^2n-13$%-решений нет. 3)$%m=3n-1; 3^{k}+3^4 = m^{3}-5\Leftrightarrow3^{k}+3^4=3^3n^3-3^3n^2+3^2n-6$%- решений нет, т.к. $%k>1.$% Ответ. $%k=1;m=5.$% отвечен 10 Ноя '12 19:26 
Anatoliy |
|
Моя идея была примерно такая же, как у @Anatoliy. Заметим, что m = 5 дает решение уравнения с k = 1. Пусть теперь $%m > 5$% - другое решение. Запишем $%m = 5 + n$%, тогда $%m^3 = n^3 + 15 n^2 + 75 n + 125$%, уравнение принимает вид $%13\cdot (3^k - 3) = n^3 + 15 n^2 + 75 n$%. В частности, n должно делиться на 3. Но тогда правая часть делится на 9, а левая (при k > 1) - не делится. Значит, других решений не существует. отвечен 10 Ноя '12 19:47 
DocentI |
|
Поскольку $%m^3-86$% делится нацело на 13 (условие 1), то рассматривая все возможные варианты для m, получаем 13 случаев для $%m: 13t+1,13t-1,...,13t+6, 13t-6, 13t+7$%, из которых условие 1 выполняется только при $%m: 13t+2,13t+5,13t+6$%. Поскольку $%(m^3-86)/13$% должно равняться $%3^k$% (условие 2), проверка при $%m=13t+2$% дает: $%((13t+2)^3-86)/13=169t^3+78t^2+12t-6$%, выражение делится на 3, только когда $%169t^3$% делится на 3 (т.к. остальные слагаемые делятся на 3), откуда $%t=3s$% и имеем $%4563s^3+702s^2+36s-6$%. Ясно, что условие 2 не выполняется, т.к. выражение делится на 3 (и не равняется трем при целых t), но не делится на 9. Аналогично получаем, что при $%m=13t+5$% выражение делится на 3, но не делится на 9, хотя равенство трем возможно при $%t=0$%, откуда $%k=1, m=5$%. При $%m=13t+6$% условие 2 не выполняется (не делится на 3). Ответ: единственное решение $%k=1, m=5$%. отвечен 10 Ноя '12 20:19 
Lyudmyla |