xy"+2y'-xy=2-x^2. Два частных : y=x и y=x+(e^x/x). Значит общее решение однородного у=С(1)х+С(2)(е^х/х+х) Метод вариации- получаются страшные интегралы. Или что-то неверно делаю?

задан 17 Май '16 2:12

изменен 17 Май '16 2:47

10|600 символов нужно символов осталось
2

Зная одно частное решение, достаточно найти общее решение однородного уравнения $%xy''+2y'-xy=0$%. Введём новую функцию $%z=xy$%. Тогда $%z'=xy'+y$%; $%z''=xy''+2y'$%. Это значит, что $%z''-z=0$%.

Итоговый ответ: $%y=x+\dfrac{C_1e^x+C_2e^{-x}}x$%.

ссылка

отвечен 17 Май '16 4:02

@falcao, два вопроса: из каких соображений сделана замена? Зачем дано ещё одно частное решение?

(17 Май '16 14:27) epimkin

@epimkin: замена сделана из тех соображений, что xy явно фигурирует в записи уравнения, а xy'' есть слагаемое при нахождении второй производной. Поэтому разумно такую замену испробовать, что быстро ведёт к нахождению общего решения. Для чего дано второе частное решение, я не знаю. Его можно было и не давать. Возможно, что это косвенная подсказка: если y=e^x/x, то xy удовлетворяет простому по форме дифференциальному уравнению.

(17 Май '16 14:46) falcao

@falcao, есть ещё условие х>0. Оно зачем?

(17 Май '16 15:09) epimkin

@epimkin: наверное, чтобы можно было на х делить.

(17 Май '16 15:11) falcao

Спасибо, век живи-век учись. Сейчас ещё одно напишу, тоже не получается

(17 Май '16 15:17) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
1

Или что-то неверно делаю? - Знание двух частных решений неоднородного уравнения даёт знание только одного решения однородного уравнения...

ссылка

отвечен 17 Май '16 5:34

@all_exist, вчера ночью ещё раз все осмыслил, когда спать лёг. Теперь вообще не пойму что хотят сделать с этим примером. Даны два частных решения НЕОДНОРОДНОГО уравнения, нужно найти общее решение? Первый раз сталкиваюсь с таким примером.

(17 Май '16 14:24) epimkin

Скорее всего авторы задачи предполагали следующее... Разность данных частных решений есть функция $%u$% - решение однородного уравнения... Тогда решение однородного уравнения можно искать в виде $%y_0=u\cdot z$%, где $%z(x)$% - новая искомая функция, для которой получится уравнение вида $%az''+bz'=0$% ...

(17 Май '16 16:41) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,353
×80

задан
17 Май '16 2:12

показан
434 раза

обновлен
17 Май '16 16:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru