|
Привет. Помогите решить задачу, дано:
Плоскость $%A(0;0), B(0;10), C(25;10), D(25;0)$%, произвольная точка на плоскости $%M(5;2)$% с которой выходит луч под углом $%a$% (с осью $%Ox$%). Найти точку в которой вектор покидает данную плоскостью. Как подметил DocentI:
Угол - произвольный, пересекать может любую из сторон. Дано точка, её направление и ограничивающий периметр. задан 11 Ноя '12 23:14 
mathJunior |
|
Уравнение прямой, образующей с положительным направлением оси $%Ox$% угол $%\alpha$% и проходящей через точку $%(x_0;y_0)$%, имеет вид $%y=tg\alpha(x-x_0)+y_0.$% В этой задаче уравнение прямой $%y=tg\alpha(x-5)+2.$% Как видно из рисунка, нужно найти точку пересечения вектора с прямой $%y=10.$% Для этого нужно решить систему уравнений $%\left\{\begin{aligned}y=tg\alpha(x-5)+2,\\y=10,\\\end{aligned}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}x=\frac{8}{tg\alpha}+5,\\y=10.\\\end{aligned}\right.$% Чтобы вектор пересекал указанную на рисунке сторону, нужно выполнение условия $%0\le\frac{8}{tg\alpha}+5\le20\Leftrightarrow -5\le\frac{8}{tg\alpha}\le15$%. Рассмотрим два случая: 1) $%tg\alpha>0,\alpha<\frac{\pi}{2},$% тогда $%\frac{8}{tg\alpha}\le15\Leftrightarrow tg\alpha\ge\frac{8}{15}\Rightarrow \alpha\ge arctg\frac{8}{15}.$% 2) $%tg\alpha<0,\alpha>\frac{\pi}{2}$%, тогда $%-5\le\frac{8}{tg\alpha}\Leftrightarrow tg\alpha\le-\frac{8}{5}\Rightarrow \alpha \le \pi-arctg\frac{8}{5}.$% 3)Если $%\alpha=\frac{\pi}{2},(5;10)-$% точка пересечения вектора с указанной стороной. Ответ. При $%\alpha \in [\pi-arctg\frac{8}{5};arctg\frac{8}{15}],\alpha\neq \frac{\pi}{2}$%, точка пересечения $%(\frac{8}{tg\alpha}+5;10);$% при $%\alpha=\frac{\pi}{2},(5;10).$% отвечен 12 Ноя '12 13:19 
Anatoliy Предполагается, что длина вектора не меньше $%\frac{8}{sin\alpha}.$%
(12 Ноя '12 20:16)
Anatoliy
Вообще-то автор вопроса говорит не о прямой, а о луче. Так что ответ должен разбиваться на 4 случая. Мне показалось что луч может пересекать любую из сторон.
(12 Ноя '12 22:52)
DocentI
@DocentI, Вы абсолютно правы. Луч может быть под любым углом, и пересечь любую из сторон(в том числе и точки A,B,C,D). Нам и надо выяснить которую из них и в какой именно точке.
(12 Ноя '12 23:05)
mathJunior
" Не верь глазам своим!" Условие нужно формулировать в понятливой форме!
(12 Ноя '12 23:10)
Anatoliy
@Anatoliy, это результат внешней правки. Вначале рисунок был вставлен в виде ссылки и назывался "схема", так что понятно было, что это только примерный эскиз.
(12 Ноя '12 23:18)
DocentI
Раз возникли вопросы, значит плохо сформировал. Уточнил. Вам большое спасибо за ответы.
(12 Ноя '12 23:21)
mathJunior
показано 5 из 6
показать еще 1
|
|
Это не "плоскость", ее бы вектор не мог "покинуть". Четыре точки являются вершинами четырехугольника, в данном случае - прямоугольника. Вектор (точнее, луч) может пересечь любую из его сторон. Уравнение луча есть $%x = 5 + t\cos \alpha , y = 2 + t\sin\alpha $%, где $%t \ge 0$% Можно решать так. Находим углы, при которых луч проходит через вершины прямоугольника. Между этими границами луч пересекает только одну сторону. Точку пересечения можно найти. Пример. Луч MA имеет направляющий вектор (-5; -2), его наклон к оси Ox задается соотношениями $%tg \alpha = 2/5, -\pi <\alpha < 0 $%. Значит, $%\alpha_1 = arctg (2/5) -\pi$%. Аналогично луч MD имеет направление (20,-2) и соответствует углу $%\alpha_2 = -arctg (2/20)$%. В промежутке между $%\alpha_1$% и $%\alpha_2$% луч пересекает сторону AD, уравнение которой y = 0, так что получаем уравнение $%2 + t\sin\alpha = 0 \Rightarrow t = -2/\sin\alpha$%, откуда можно найти и $%x.$% Остальные случаи разбираются аналогично. Только лучше обходить границу прямоугольника в положительном направлении (против часовой стрелки). Другой способ - найти точки пересечения луча не с отрезками, а с прямыми $%x= 0, y = 0, x = 25, y = 10$% и найти точку, ближайшую к M. Но выбор такого минимума легче проводить при известном $%\alpha$%, а не в параметрическом виде. отвечен 11 Ноя '12 23:56 
DocentI |