Доказать, что в группе порядка p^3 (p - простое, нечетное) выполняется соотношение (ab)^p=a^(p)*b^(p)

задан 20 Май '16 16:28

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь нужно опираться на кое-какие факты, которые к данному моменту уже доказаны, и считаются известными.

Будем считать, что группа неабелева -- в противном случае доказывать нечего. Известно, что $%p$%-группа обладает нетривиальным центром. Также известно, что факторгруппа по центру неабелевой группы не может быть циклической. Значит, центр имеет порядок $%p$%, и факторгруппа по нему имеет порядок $%p^2$%. Будучи нециклической, она изоморфна $%\mathbb Z_p\times\mathbb Z_p$% (это тоже известный факт, получаемый как следствие упомянутых выше). В частности, любой элемент факторгруппы в степени $%p$% равен единице. Это значит, что $%a^p$% принадлежит центру для любого $%a$%. Поскольку любые элементы центра перестановочны, то $%a^pb^p=b^pa^p$%.

Теперь заметим, что факторгуппа по центру у нас абелева, и тогда любой коммутатор, то есть элемент вида $%[x,y]=x^{-1}y^{-1}xy$%, также принадлежит центру, и он перестановочен с любым элементом группы. Это значит, что группа нильпотентна ступени 2, то есть удовлетворяет тождеству $%[[x,y],z]=1$%. Отсюда следует свойство дистрибутивности коммутатора: $%[ab,c]=b^{-1}a^{-1}c^{-1}abc=b^{-1}[a,c]c^{-1}bc=[a,c][b,c]$%, а также $%[a,bc]=a^{-1}c^{-1}b^{-1}abc=a^{-1}c^{-1}a[a,b]c=[a,b][a,c]$%.

Из этих свойств по индукции получается, что $%[a^m,b^n]=[a,b]^{mn}$% для любых натуральных $%m,n$%. Далее индукцией по $%n$% доказываем, что $%(ab)^n=[b,a]^{n(n-1)/2}a^nb^n$%. При $%n=1$% это очевидно. Теперь шаг от $%n$% к $%n+1$%: здесь $%(ab)^{n+1}=[b,a]^{n(n-1)/2}a^nb^nab=[b,a]^{n(n-1)/2}a^nab^n[b^n,a]b=[b,a]^{n(n-1)/2}a^{n+1}b^n[b,a]^nb=$%

$%=[b,a]^{n(n+1)/2}a^{n+1}b^{n+1}$%.

Беря $%n=p$% и учитывая то, что любой элемент центра в степени $%p$% равен единице (в частности, любой коммутатор), с учётом нечётности $%p$% получаем $%(ab)^p=([b,a]^p)^{(p-1)/2}a^pb^p=a^pb^p$%.

ссылка

отвечен 20 Май '16 18:12

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,084
×760
×624
×223

задан
20 Май '16 16:28

показан
407 раз

обновлен
20 Май '16 18:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru