Доказать, что в группе P порядка p^n существует подгруппа R такая, что: Q является нормальной подгруппой R и [R:Q]=p

задан 20 Май '16 16:51

10|600 символов нужно символов осталось
0

Существование подгруппы любого порядка, делящего $%p^n$%, следует из теорем Силова. Если ими не пользуемся, то доказываем индукцией по порядку группы существование подгруппы порядка $%p^k$% при любом $%0\le k\le n$%.

Известно, что всякая $%p$%-группа обладает нетривиальным центром. Обозначим его через $%C$%. Если его порядок делится на $%p^k$%, то в $%C$% как в абелевой группе есть подгруппа данного порядка. Если не делится, то есть $%|C|=p^i$% при $%1\le i < k$%, то рассматриваем факторгруппу $%P/C$%. Её порядок равен $%p^{n-i}$%. Берём в ней подгруппу порядка $%p^{k-i}$% -- она имеется по предположению индукции. Её прообраз при естественном гомоморфизме $%P\to P/C$% будет искомой подгруппой порядка $%p^k$%.

В принципе, этим же способом можно доказать и существование нормальной подгруппы индекса $%p$%. Она имеется в группе порядка $%p$%, а далее снова применяем индукцию. Если группа абелева, то в неё любая подгруппа нормальна. Если неабелева, то $%C$% не равна $%P$%, и факторгруппа $%P/C$% неединична. Тогда в ней есть нормальная подгруппа индекса $%p$%, и снова берём её прообраз. Из теорем о гомоморфизмах следует, что прообраз будет нормальной подгруппой того же индекса.

Второй способ доказательства может быть основан на свойстве, согласно которому подгруппа наименьшего простого индекса, делящего порядок конечной группы, всегда нормальна в ней.

ссылка

отвечен 20 Май '16 17:49

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,138
×1,700
×851
×697

задан
20 Май '16 16:51

показан
467 раз

обновлен
20 Май '16 17:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru