Найти геометрическое место точек, из которых эллипс с полуосями а и в, и центром в начале координат, виден под прямым углом.

задан 13 Ноя '12 4:18

изменен 13 Ноя '12 19:54

Deleted's gravatar image


126

Опять присылаю вам олимпиадные задачи. Дело в том,что задания несложные,но почему-то более 60% участников их не решило :( Поэтому решил проверить - реально они нерешаемы или нет?) Если вы не против - могу выслать еще парочку подобных)

(13 Ноя '12 4:20) nagibin1995

Наверное, Вы хотите, чтобы их решали школьники и студенты? Пока подожду публиковать решения, чтобы не мешать молодежи!

(13 Ноя '12 21:45) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
2

Мы давали эту задачу на студенческой олимпиаде. Нашла в своих запасах решение для тех, кто не знает про фокусы эллипса. Правда, там довольно большой счет.

Эллипс: $%{x^2\over a^2} + {y^2\over b^2} = 1$%. Через искомую точку (x, y) проведем прямую $%(x + \lambda t; y + \mu t)$%. Она будет касательной к эллипсу, если пересекает его ровно в одной точке. Это значит, что дискриминант соответствующего квадратного уравнения равен 0. После упрощений условие приобретает вид: $%(b^2 – y^2)\lambda^2 + (a^2 – x^2)\mu ^2 + 2\lambda \mu xy = 0.$% У перпендикулярной прямой направляющий вектор $%(–\mu, \lambda)$%, так что и $%(b^2 – y^2)\mu^2 + (a^2 – x^2)\lambda ^2 – 2\lambda \mu xy = 0.$% Складывая эти два уравнения, получаем, что $%(\lambda^2 + \mu^2)(a^2 + b^2 – x^2 – y^2) = 0.$% Первый сомножитель в 0 не обращается, поэтому $%x^2 + y^2 = a^2 + b^2.$% Можно проверить, что для каждой точки этой окружности существует решение $%(\lambda, \mu).$%

ссылка

отвечен 13 Ноя '12 23:29

изменен 13 Ноя '12 23:30

Да,но дело в том, что эту задачу не смогло решить 67% студентов, притом это решение показалось им непонятным во время рабора... А другого решения нет? А то им объяснить бы надо было...

(28 Ноя '12 3:48) nagibin1995
10|600 символов нужно символов осталось
2
ссылка

отвечен 13 Ноя '12 20:20

изменен 13 Ноя '12 22:02

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

А если просто записать уравнения касательных - будет сложно?

(13 Ноя '12 22:08) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
0

А можно подробное решение задачи? С оформлением и расписанным решением для глупеньких людей? Помогите, пожалуйста, разобраться))

ссылка

отвечен 20 Дек '15 20:16

@MilashKa97: решение @DocentI совершенно подробное. Там есть вся необходимая информация. Если по нему что-то непонятно, то можно задать уточняющие вопросы.

Возможно, Вам будет достаточно замечания, что там в конце вывели уравнение $%x^2+y^2=a^2+b^2$% для искомого геометрического места точек. Остаётся вспомнить, что это уравнение окружности. А больше ничего не надо.

(21 Дек '15 0:23) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,325
×787
×560

задан
13 Ноя '12 4:18

показан
1539 раз

обновлен
21 Дек '15 0:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru