Из куба суммы нескольких целых чисел вычли сумму кубов этих чисел. Доказать, что полученная разность может принимать любые значения, кратные 6, и не м ...
Учительница дала Кате и Тане по одинаковому натуральному числу. Катя прибавила к этому числу его старшую цифру, а Таня вычла из числа его старшую цифр ...
Остатки от деления натурального числа на 3, 6 и 9 в сумме дают11. Какой остаток от деления данного числа на 18? (Найдите всевозможные ответы и докажит ...
Сумма и произведение трёх попарно взаимно простых чисел делятся на некоторое простое число $%p$%. Cумма их квадратов также делится на $%p$%.Докажите, ...
Одно и то же натуральное число поделили с остатком на 4, 9, 15 и 21. Сумма четырёх полученных остатков оказалась равна 32. Докажите, что исходное числ ...
Число $%12^{71}$% оканчивается тремя одинаковыми цифрами, а именно 888. Может ли степень числа 12 (с натуральным показателем) оканчиваться четырьмя од ...
Рассмотрим все 60-значные числа, в записи которых все цифры от 0 до 5 встречаются по 10 раз. Докажите, что ни одно из таких чисел не делится на другое ...
(Минздравкультуры предупреждает: использование вычислительной техники при решении задач, легко решающихся в уму, опасно для вашего интеллектуального р ...
Найдите все натуральные числа, такие что сумма квадратов их пяти наименьших делителей — точный квадрат.(предлагалась на ленинградской олимпиаде, 10 кл ...
а) Найдите все тройки целых чисел $%(m, n, k)$% такие, что $$m^3+n^3=k!-6$$б) Найдите все тройки натуральных чисел $%(m, n, k)$% такие, что $$m^3+n^3= ...
На доске записано несколько целых чисел. Катя заменила каждое число(стерев его) следующим образом: вместо числа, кратного 3, она записала еготреть, а ...
У Кати есть достаточно трёхкопеечных и десятикопеечных монет. Билет в кино стоит 97 копеек. Каким наименьшим числом монет Катя может набрать требуемую ...