геометрия - Модель многомерного пространства и его необычные свойства

Возьмем трехмерное пространство. В нем справедлива теорема Пифагора

$$r^2=x^2+y^2+z^2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$

где $%r$% — расстояние между любыми двумя точками пространства. Известно, что все содержание эвклидовой геометрии можно вывести из соотношения $%(1)$%.

Рассмотрим теперь множество, состоящее из трех точек (рис.$%1$%). Здесь точки являются символами, элементами множества (вместо трех точек можно нарисовать, например, трех крокодилов).

Все рисунки смотрите здесь.

Поставим в соответствие множеству размерностей $%3$%-мерного пространства множество точек. Тогда $%3$%-мерное пространство соответствует множеству из трех точек, $%2$%-мерное — множеству из двух точек, $%1$%-мерное — множеству из одной точки, $%0$%-мерное — пустому множеству точек.

Рассмотрим пересечения подмножеств точек в множестве из трех точек (рис.$%2$%)

Напомним, что пересечением называется подмножество, принадлежащее обоим пересекающимся подмножествам. На рис.2 пересекаются подмножества, каждое из которых состоит из двух точек. Как видно, подмножества из двух точек могут пересекаться по одной точке. В 3-мерном пространстве это соответствует пересечению двух 2-мерных плоскостей, пересекающихся по 1-мерной прямой.

Рассмотрим рис.3. Здесь пересечение двух подмножеств из двух точек и одной точки происходит по пустому множеству точек.

В 3-мерном пространстве это соответствует пересечению 1-мерной прямой и 2-мерной плоскости в 0-мерной точке.

Аналогично можно рассмотреть пересечения в 2-мерном пространстве и 1-мерном пространстве. Соответствие между множеством точек и множеством размерностей будет полное.

Рассмотрим теперь множество из четырех точек, что соответствует 4-мерному пространству (рис.4)

Как видно, в 4-мерном пространстве две 2-мерные плоскости могут пересекаться по 0-мерной точке, что невозможно сделать в 3-мерном пространстве. Это можно представить наглядно, если спроецировать 4-гранный угол на плоскость аналогично проецированию 3-гранного угла на плоскость и вообразить, что все углы в вершине 4-гранника являются прямыми. В таком 4-граннике любые две противоположные грани (координатные плоскости) пересекаются в одной точке. Никто ведь не удивляется тому, что в 3-мерном пространстве 3 координатные плоскости пересекаются в одной 0-мерной точке.

Из рис.2 и рис.3 становится понятно, почему психологически нельзя представить в 3-мерном пространстве пересечение двух плоскостей в одной точке. Потому что мы живем в пространстве 3-х измерений и выйти за него не можем, какие бы комбинации пересечений подпространств в нем мы не пробовали.

Вообще, если рассмотреть множество из $%n$% точек, что соответствует $%n$%-мерному пространству, то легко обнаружить, что выполняется следующее соотношение

$$l\ge m+k-n\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$$

где $%l$% — подмножество точек в пересечении подмножеств $%m$% и $%k$%; $%n$% — все множество точек.

В теории конечномерных векторных пространств существует аналогичное соотношение

$$\dim l\ge \dim m+\dim k-\dim n\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)$$

где ''dimension'' — «размерность»; $%\dim l$% — размерность подпространства, получаемого в результате пересечения подпространств $%m$% и $%k$%; $%\dim n$% — размерность объемлющего пространства.(см. Архангельский А. В. Конечномерные векторные пространства, Москва, Изд-во Московского университета, 1982, с.32)

Пусть мы имеем бесконечномерные пространства $%M$% и $%K$%. Тогда в нашей модели их пересечение отобразится подмножеством $%L$% из бесконечного числа точек (рис.5)

то есть сплошной непрерывной областью. Уравнения (2) и (3) будут здесь иметь вид

$$L\ge M+K-N$$

Рассмотрим теперь множество из $%9$% точек, что соответствует $%9$%-мерному пространству (рис.6)

Если это множество разбить на подмножества по три точки — $%A$%, $%B$%, $%C$%, то нетрудно видеть, что пересечения подмножеств $%A$%, $%B$%, $%C$% аналогично пересечениям подмножеств из трех точек. В $%9$%-мерном пространстве это означает, что три его $%3$%-мерных подпространства могут пересекаться в одной точке и быть взаимно ортогональными. Таким образом, $%3$%-мерное подпространство в этом случае может играть роль координатной «оси». Тогда то, что соответствует $%2$%-мерным плоскостям в $%3$%-мерном пространстве, здесь будет $%6$%-мерным подпространством.

Мы взяли по три точки в $%A$%, $%B$%, $%C$% только в качестве примера. Пусть в $%A$%, $%B$%, $%C$% будет по $%n$% точек. Тогда мы получим аналог $%3\,n$%-мерного пространства. «Куб», например, в таком пространстве может выглядеть следующим образом (рис.7)

Здесь каждое ребро $%n$%-мерно, каждая грань $%2\,n$%-мерна, сам куб $%3\,n$%-мерен, но точечных вершин будет восемь. Если в качестве «линии» в $%3\,n$%-мерном пространстве взять его $%n$%-мерное подпространство, то мы получим с таким определением обычную $%3$%-мерную геометрию, где каждая точка может быть охарактеризована тремя числами по отношению к $%n$%-мерным координатным «осям». Единственное отличие от $%3$%-мерного пространства будет состоять в том, что «длина» этой «линии» будет измеряться метрами в степени $%n$% (см, км, и т. п.). Теорема Пифагора в этом случае будет иметь вид

$$r^2_{(metr)^n}=x^2_{(metr)^n}+y^2_{(metr)^n}+z^2_{(metr)^n}$$

При таком определении такая «$%3$%-мерная» геометрия формально ничем не будет отличаться от $%3$%-мерной геометрии Евклида со всем ее содержанием.

В принципе $%n$% можно устремить к бесконечности и мы получим «$%3$%-мерную» геометрию с бесконечным числом внутренних степеней свободы. «Точки» в таком пространстве (то есть очень малые области) будут бесконечномерными.

Мы приходим к выводу, что даже если наблюдатели пользуются формализмом $%3$%-мерной геометрии, само пространство может быть в изложенном выше смысле много- и даже бесконечномерным.

Подробнее с рисунками смотрите здесь.