геометрия - Многомерное пространство и Вселенная в "точке"

Мы рассмотрим математическую возможность размещения пространств любой протяженности в «точке» с заданным размером (т.е. в малой области пространства).

Рассмотрим наглядный пример. Возьмем обычную книгу, 3-мерный объект. Количество информации в виде букв занимает в книге объем $%V$%. Пусть это же количество информации необходимо разместить в 2-мерном пространстве, то есть на плоскости. В виде строк информация займет площадь $%S$% со стороной квадрата $%a(2)$%. Ясно, что $%a(2)> a(3)$%, где $%a(3)$% — сторона 3-мерного куба, изображающего книгу.

Это же количество информации, помещенное в одномерное пространство, в виде строки раcтянется в длину величиной $%a(1)$%, причем

$$a(1)> a(2)> a(3)$$

Интуитивно ясно, что при увеличении числа измерений пространства для размещения одного и того же количества информации (в виде букв) нам потребуется $%n$%-мерный куб со все меньшей стороной $%a(n)$% соответствующего $%n$%-мерного куба, то есть

$$a(1)> a(2)>\cdots > a(k)>\cdots > a(n)$$

Нетрудно показать, что $%a(n)$% и $%a(k)$% связаны следующим соотношением

$$a(n)=a(k)^{k/n}\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$

Действительно, (1) следует из равенства объемов информации (или вещества) в том или ином $%n$%-мерном пространстве

$$V(1)=V(2)=V(k)=\cdots =V(n)$$

где $%V(n)$% — «объемы» $%n$%-мерных пространств, заключающих в себе одинаковое (равное) количество единиц информации (или единиц вещества - атомов), расположенных в узлах $%n$%-мерных кубических решеток с шагом $%d$% в том или ином n-мерном пространстве (рис.1).

Рисунок 1 смотрите по адресу здесь

И так как

$$V(1)=a(1)^1; V(2)=a(2)^2;\cdots ; V(k)=a(k)^k;\cdots ; V(n)=a(n)^n;$$

то отсюда и следует (1). Здесь, например, $%a(1)=d\cdot t$%, где $%t$% - число шагов решетки.

Для 3-мерного пространства из (1) получим следующее соотношение

$$a(n)=a(3)^{3/n}\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$$

Из соотношения (2) следует интересный вывод. Предположим, нам необходимо разместить всю наблюдаемую Вселенную вместе с веществом в элементарном n-мерном «кубике» со стороной $%a(n)$%, равной величине $%10\cdot 10^{-33}cm=10\cdot\ell_P$% (то есть десяти единицам планковской длины), где $%\ell_P=10^{-33}cm$% - одна единица планковской длины. Сколько измерений пространства нам для этого потребуется?

Размер наблюдаемой Вселенной равен $%10^{28}$% см. или, в единицах планковской длины, $%10^{61}\ell_P$% планковских единиц длины. Из соотношения (2) имеем

$$10^1\ell_P=(10^{61}\ell_P)^{3/n}\,\,\,\,\,\,\,\,(3)$$

Отсюда $%n = 183$%. Из (3) видно, что уже при 183 измерениях пространства всю наблюдаемую Вселенную можно разместить в 183-мерном «кубике» со стороной $%10\ell_P$%, то есть фактически в «точке» (183-мерной).

Плотность вещества в таком «кубике» остается равной плотности вещества, находящегося в 3-мерном пространстве наблюдаемой Вселенной. Действительно, плотность вещества в $%n$%-мерном пространстве определяется следующим образом: $%\rho(n)=M/V(n)$%, где $%M$% — масса вещества наблюдаемой Вселенной, $%V(n)$% — объем n-мерного пространства, $%\rho(n)$% — плотность вещества в $%n$%-мерном пространстве. И так как, по условию, $%V(3)=V(183)$%, то и $%\rho(3)=\rho(183)$%.

Наглядный пример: сворачивание одномерной нити длиной $%r_1$% в плоский двухмерный «коврик» в виде спирали диаметром $%r_2$% или в трехмерный клубок диаметром $%r_3$%. Ясно, что $%r_1> r_2> r_3$%, то есть компактность размещения нити растет с увеличением размерности пространства, однако плотность размещения вещества нити остается прежней (атомы вещества нити по прежнему будут расположены на расстоянии $%d$% друг от друга в направлении каждой $%n$%-ой координатной оси, (см. рис.1).

Очевидно, что в бесконечномерной «точке» с определенным размером можно разместить любое конечномерное пространство любой протяженности.