алгебра - Возможные решения проблем бесконечности

Описание проблемы:

В математике меня всегда волновала проблема бесконечности. Все возможные операции с бесконечностью перестают иметь свой смысл, а сравнение бесконечных величин приводят к абсурду. Приведу простой пример:

Возмем окружность и сосчитаем в ней все диаметры. Получим ∞. Теперь сосчитаем все радиусы в этой же окружности и получим тоже ∞. НО: Это невозможно, так как каждый диаметр образует 2 радиуса, из чего следует, что сколько бы ни было диаметров, радиусов должно быть в два раза больше. Однако, для бесконечности действуют правила, не поддающеюся логике. Вот те размышления, что приводят к таким результатам:

∞ + 1 = ∞ (это признают все) =>
∞ + N = ∞ (N -- любое число) =>
∞ + ∞ = ∞ * 2 = ∞ =>
∞ * N = ∞ =>
∞ * ∞ = ∞ =>
∞^N = ∞ =>
∞^∞ = ∞ =>
∞^∞^∞^∞... = ∞

А подобные размышления влекут за собой еще более нелогичные заявления:
Например, отрезок по количеству точек равен прямой, которая содержит в себе ∞ таких же отрезков. Из отрезка можно получить луч, просто вынимая из отрезка маленькие отрезки (это можно делать по одной точке, так что математика в этом месте мне ничего не скажет). Любой треугольник -- равносторонний и т.д....

Математике нужно решение, которое позволит не совершать подобных ошибок. И я попытался его найти.

Возможное решение:

Для примера возьмем дроби. Причем ничтожно маленькие дроби. Типа: 0,00000......1. Таких дробей в единице содержится бесконечность, т.к. они настолько малы, что сколько их не складывай, единицы не получится. Тоже с 2, 3, 4... (и другими натуральными числами), но не смотря на это, 1 не = 2 и 2 не = 5. А ведь это же тоже бесконечность, если рассматривать с точки зрения ничтожно малых дробей. Из этого следует, что можно ввести такие числа, для которых натуральные будут казаться такими дробями. То есть бесконечные числа. То есть мы возьмем и заключим всю ∞ натуральных чисел в одно число. И это число будет нечто вроде единицы для гигантских чисел бесконечности. При этом с ними можно будет проводить вычисления, как с натуральными. ∞ будет иметь размер в такой системе. ∞ будет иметь логику.