Наткнулся я на этот парадокс достаточно давно, но никак не мог понять почему все так. Начал с рассмотрения возможный вариантов, подсчета вероятностей выигрыша и получил интересный результат...
Но обо всем по порядку. Для тех кто не знает (или не помнит) парадокс Монти Холла заключается в рассчете вероятности получения ценного приза. Есть 3 двери, в одной из которых есть ценный приз (например -- ключи от автомобиля), в друх других утешительные призы, в оригенальной задаче -- козы. После того, как вы выбираете 1 из дверей, ведуший открывает из оставшихся двух с козой и предлагает Вам сменить дверь на оставшуюся. По рассчетам получается , что вероятность выигрыша при смене двери становиться 2/3, а в противном случае -- 1/3. В этом и заключается парадокс, ведь интуиция подсказывает, что вероятность должна быть 50 на 50.

Здесь я чуть изменил задачу, заменив двери на коробки, а вместо коз в коробках ничего нет.

Ну вот я и стал решать. Расписал варианты изначального расположения приза, их, очевидно, три:

("П" -- приз, "O" -- пустая открытая коробка, " " -- пустая закрытая коробка)
            1   2   3
1 Вариант: [П] [ ] [ ]  
2 Вариант: [ ] [П] [ ]  
3 Вариант: [ ] [ ] [П]

Предположим, мы выбираем первую коробку (для остальных коробок рассуждения будут аналогичны), после чего ведущий открывает одну пустую из 2 оставшихся коробок. Преобразуем нашу схему:

            1   2   3
1 Вариант: [П] [О] [ ]  
2 Вариант: [ ] [П] [О]  
3 Вариант: [ ] [О] [П]

Вроде, парадокс подтверждается, ведь в двух из трех вариантов мы выигрываем, сменив коробку. НО: Мы не учли еще один вариант. Присмотритесь к первому расположению коробок. Здесь ведуший может выбрать, какую открыть 2 или 3, но в нашей схеме это не учтено. Надо исправить:

            1   2   3
1 Вариант: [П] [О] [ ] 
2 Вариант: [П] [ ] [О]
3 Вариант: [ ] [П] [О]  
4 Вариант: [ ] [О] [П]

Для ясности уберем открытые коробки из таблицы, ведь теперь они роли не несут (выбрать их нельзя и нам все равно, будут ли они вообще):

            1   Оставшаяся
1 Вариант: [П]     [ ] 
2 Вариант: [П]     [ ]
3 Вариант: [ ]     [П] 
4 Вариант: [ ]     [П]

Магия! Вероятность выигрыша при смене коробки становится 50% как и ожидалось! Давайте посмотрим тоже с 4-мя коробками:

            1   2   3   4
1 Вариант: [П] [О] [О] [ ]
2 Вариант: [П] [О] [ ] [О]
3 Вариант: [П] [ ] [О] [О]

4 Вариант: [ ] [П] [О] [О]
5 Вариант: [ ] [О] [П] [О]
6 Вариант: [ ] [О] [О] [П]

И преобразуем:

            1   Оставшаяся
1 Вариант: [П]     [ ]
2 Вариант: [П]     [ ]
3 Вариант: [П]     [ ]
4 Вариант: [ ]     [П]
5 Вариант: [ ]     [П]
6 Вариант: [ ]     [П]

Как и в первом случае, нет выгоды в смене коробки, ведь вероятность выигрыша 50%! Таким образом, независимо от числа коробок, вероятность будет сохраняться.

Ошибка обычных рассуждений скорее всего крылась в том, что они не учитывают все варианты развития событий. При стандартном доказательстве данного парадокса при выборе правильной двери изначально говорят, что какую из оставшихся дверей открывать ведуший решает случайным образом, а в рассчетах вероятности это не играет роли.

Но меня удивляет то, что в пользу парадокса Монти Холла есть весьма убедительные решения. Странно как-то выходит. Может у меня есть ошибка? Или парадокс не парадокс?

UPD:
На самом деле в моих рассуждениях есть ошибка. Как отметили участники knop и falcao все 4 варианта не равновероятны. 1 и 2 вариант исполняется тогда, когда приз находиться в первой коробке, чего вероятность 1/3, что означает, что вероятность 1 и 2 вариантов равна 1/6. Таким образом сменить дверь становится выгоднее, ведь в 2/3 случаев приз оказывается за оставшейся коробкой. Все таки, парадокс оправдывает себя.

            1   2   3
1 Вариант: [П] [О] [ ] вероятность 1/6 
2 Вариант: [П] [ ] [О] вероятность 1/6
3 Вариант: [ ] [П] [О] вероятность 1/3
4 Вариант: [ ] [О] [П] вероятность 1/3

опубликован 26 Авг '18 19:41

изменен 27 Авг '18 12:48

Вы разделили 1-й вариант на два, и так можно сделать. Но четыре получившихся в итоге варианта НЕ равновероятны. Первые два в сумме дают 1/3

(27 Авг '18 0:00) knop

Варианты [п][][], [][п][], [][][п] равновероятны. Для наглядности, пусть каждый из них повторился 100 раз. Тогда для первого из случаев ведущий 50 раз откроет вторую дверь, и 50 раз третью. Тогда в списке из четырёх вариантов [п][о][], [п][][о], [][п][о], [][о][п], первые два встретятся по 50 раз, а последние два по 100. (То есть 4 варианта не равновероятны, как отметил выше @knop.) Если это учесть, то сразу видно, что приз за первой дверью находится в 50+50=100 случаев из равновероятных 300.

(27 Авг '18 11:43) falcao
1

@Mark: да, Вы всё поняли верно. Окончательный "комфорт" в этом деле наступает при осознании того, что ответ 1/2 тоже верный (интуиция нас никогда не обманывает!), но он верен для ДРУГОЙ очень похожей задачи. Именно наш разум, в отличие от безошибочной интуиции, нас подводит, когда мы путаем две очень близкие задачи.

Пусть приз за первой дверью. Тогда ведущий с вероятностью 1/2 открывает одну из дверей -- вторую или третью. Оба случая аналогичны. Рассмотрим один из них -- когда открыта вторая дверь.

ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ

(27 Авг '18 13:46) falcao

Какова условная вероятность, что приз за первой дверью -- при условии, что за второй дверью приза нет (мы это знаем, так как она открыта)? Безусловно, это 1/2, так как 1-я и 3-я двери равноправны, что нам интуитивно ясно. Но это ответ к другой задаче. Введём обозначения: A -- приз за первой дверью, B -- ведущий открыл вторую дверь, C -- за второй дверью приза нет. Вероятность P(A|C) равна 1/2, но в задаче надо было найти P(A|B), что равно 1/3, согласно предыдущему. Почему же это не одно и то же?

ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ

(27 Авг '18 13:51) falcao

Если имеет место B, то имеет место и C, что несомненно. В итоге "разум" говорит: ага, P(A|B)=P(A|C)=1/2, отождествляя события B и C. Но они не равны, так как в обратную сторону включения нет. Если имеет место C (за второй дверью приза нет), то совершенно не факт, что будет открыта именно вторая дверь, то есть будет иметь место B. Ведь когда приз за первой дверью, то в половине вариантов открывается третья дверь. Именно здесь и таится источник ошибки.

Замечу, что если P(A|C)=1/2, и C меняется на более узкое событие B, то величина P(A|B) может меняться в обе стороны. Примеры легко привести.

(27 Авг '18 13:56) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Есть вопрос на тему исследования? Задайте вопрос.
Скрыть

пожалуйста, введите содержательный заголовок для вашего вопроса


Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

Метки исследования:

×369
×10

опубликовано
26 Авг '18 19:41

просмотрено
264 раза

обновлено
27 Авг '18 13:56

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru