Чтобы лучше представить себе, как складываются слагаемые $%{{a_{ij}}}$% в двойной сумме (в сумме сумм) $$\sum\limits_{i = 1}^n \sum\limits_{j = 1}^m {a_{ij}}$$ или $$\sum\limits_{j = 1}^m {} \sum\limits_{i = 1}^n {{a_{ij}}} $$ можно расположить их в виде своеобразной матрицы $%A+$%, все элементы которой должны складываться между собой: $$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}& + &{{a_{12}}}& + &{...}& + &{{a_{1m}}}\\ + &{}& + &{}&{}&{}& + \\ {{a_{21}}}& + &{{a_{22}}}& + &{...}& + &{{a_{2m}}}\\ + &{}& + & \ddots &{}&{}& + \\ \vdots &{}& \vdots &{}& \ddots &{}& \vdots \\ + &{}& + &{}&{}& \ddots & + \\ {{a_{n1}}}& + &{{a_{n2}}}& + &{...}& + &{{a_{nm}}} \end{array}} \right).$$ Ее можно назвать аддитивной матрицей. Элементы этой матрицы можно складывать в любом порядке. Однако можно сначала сложить элементы каждой строки, а затем сложить полученные результаты: $$\sum\limits_{i = 1}^n {} \sum\limits_{j = 1}^m {{a_{ij}}} = \left[ \begin{array}{l} \,\,\,\,\,\left( {{a_{11}} + {a_{12}} + ... + {a_{1m}}} \right)\\ + \\ \,\,\,\,\,\left( {{a_{21}} + {a_{22}} + ... + {a_{2m}}} \right)\\ + \\ \,\,\,\,\,\,...............................\\ + \\ \,\,\,\,\,\,\left( {{a_{n1}} + {a_{n2}} + ... + {a_{nm}}} \right) \end{array} \right].$$ Каждый раз, когда мы здесь складываем элементы какой-либо строки, мы, другими словами, берем «сумму элементов с фиксированным первым индексом» * , то есть с первым индексом, равным номеру этой строки. В выражении $$\sum\limits_{i = 1}^n {} \sum\limits_{j = 1}^m {{a_{ij}}} $$ фиксируется вначале именно индекс i. В выражении $$\sum\limits_{j = 1}^m {} \sum\limits_{i = 1}^n {{a_{ij}}} $$ фиксируется вначале индекс j: $$\sum\limits_{j = 1}^m {} \sum\limits_{i = 1}^n {{a_{ij}}} = \left[ {\left( {\begin{array}\\ {{a_{11}}}\\ + \\ {{a_{21}}}\\ + \\ {...}\\ + \\ {{a_{n1}}} \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}\\ {{a_{12}}}\\ + \\ {{a_{22}}}\\ + \\ {...}\\ + \\ {{a_{n2}}} \end{array}} \right) + ... + \left( {\begin{array}\\ {{a_{1m}}}\\ + \\ {{a_{2m}}}\\ + \\ {...}\\ + \\ {{a_{nm}}} \end{array}} \right)} \right], - $$ то есть вначале складываются элементы каждого столбца, а затем полученные суммы также складываются. Каждый раз, когда мы здесь складываем элементы какого-либо столбца, мы берем сумму элементов с «фиксированным вторым индексом»*, то есть со вторым индексом, равным номеру этого столбца. В обоих случаях складываются все элементы матрицы $%A+$%, поэтому «в двойной сумме можно менять порядок суммирований»*: $$\sum\limits_{i = 1}^n {} \sum\limits_{j = 1}^m {{a_{ij}} = } \sum\limits_{j = 1}^m {} \sum\limits_{i = 1}^n {{a_{ij}}} .$$ Иначе говоря, элементы матрицы $%A+$% можно складывать вдоль и поперек (то есть сначала вдоль, потом поперек) или поперек и вдоль (то есть сначала поперек, потом вдоль). Матрицу $%A+$% можно обозначить по- другому, например, $%A(+)$% или еще как-нибудь. (Поскольку я ссылаюсь на Куроша, то у меня, так же, как и у него i=1, 2, ..., n, j=1, 2, ..., m, хотя чаще количество строк матрицы обозначается через m, а количество столбцов через n.) *А.Г.Курош. «Курс высшей алгебры», стр. 56. [https://vk.com/doc57144397_180054379?hash=193c84da77cd858115&dl=c9ad0e545faf32b771][1] опубликован 1 Май '19 14:47 Vladimir Pli... |
@Vladimir Pli...: принцип подсчёта элементов таблицы по строкам и по столбцам, или в обратном порядке -- вещь общеизвестная. Это есть и в массе олимпиадных задач, и вообще это используют даже "домохозяйки" :)
Математически же это есть не что иное как следствие обобщённого коммутативного закона. Эти вещи на уровне "аксиоматики" можно найти в начале книги Ленга "Алгебра". Там все эти суммы сначала вводятся по индукции, а потом доказываются соответствующие законы, которыми мы для обычных арифметических операций свободно пользуемся.
@falcao Спасибо!