линейная-алгебра - Сумма сумм

Чтобы лучше представить себе, как складываются слагаемые $%{{a_{ij}}}$% в двойной сумме (в сумме сумм)

$$\sum\limits_{i = 1}^n \sum\limits_{j = 1}^m {a_{ij}}$$

или

$$\sum\limits_{j = 1}^m {} \sum\limits_{i = 1}^n {{a_{ij}}} $$

можно расположить их в виде своеобразной матрицы $%A+$%, все элементы которой должны складываться между собой:

$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}& + &{{a_{12}}}& + &{...}& + &{{a_{1m}}}\\ + &{}& + &{}&{}&{}& + \\ {{a_{21}}}& + &{{a_{22}}}& + &{...}& + &{{a_{2m}}}\\ + &{}& + & \ddots &{}&{}& + \\ \vdots &{}& \vdots &{}& \ddots &{}& \vdots \\ + &{}& + &{}&{}& \ddots & + \\ {{a_{n1}}}& + &{{a_{n2}}}& + &{...}& + &{{a_{nm}}} \end{array}} \right).$$

Ее можно назвать аддитивной матрицей.

Элементы этой матрицы можно складывать в любом порядке. Однако можно сначала сложить элементы каждой строки, а затем сложить полученные результаты:

$$\sum\limits_{i = 1}^n {} \sum\limits_{j = 1}^m {{a_{ij}}} = \left[ \begin{array}{l} \,\,\,\,\,\left( {{a_{11}} + {a_{12}} + ... + {a_{1m}}} \right)\\ + \\ \,\,\,\,\,\left( {{a_{21}} + {a_{22}} + ... + {a_{2m}}} \right)\\ + \\ \,\,\,\,\,\,...............................\\ + \\ \,\,\,\,\,\,\left( {{a_{n1}} + {a_{n2}} + ... + {a_{nm}}} \right) \end{array} \right].$$

Каждый раз, когда мы здесь складываем элементы какой-либо строки, мы, другими словами, берем «сумму элементов с фиксированным первым индексом» * , то есть с первым индексом, равным номеру этой строки.

В выражении

$$\sum\limits_{i = 1}^n {} \sum\limits_{j = 1}^m {{a_{ij}}} $$

фиксируется вначале именно индекс i.

В выражении

$$\sum\limits_{j = 1}^m {} \sum\limits_{i = 1}^n {{a_{ij}}} $$

фиксируется вначале индекс j:

$$\sum\limits_{j = 1}^m {} \sum\limits_{i = 1}^n {{a_{ij}}} = \left[ {\left( {\begin{array}\\ {{a_{11}}}\\ + \\ {{a_{21}}}\\ + \\ {...}\\ + \\ {{a_{n1}}} \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}\\ {{a_{12}}}\\ + \\ {{a_{22}}}\\ + \\ {...}\\ + \\ {{a_{n2}}} \end{array}} \right) + ... + \left( {\begin{array}\\ {{a_{1m}}}\\ + \\ {{a_{2m}}}\\ + \\ {...}\\ + \\ {{a_{nm}}} \end{array}} \right)} \right], - $$

то есть вначале складываются элементы каждого столбца, а затем полученные суммы также складываются.

Каждый раз, когда мы здесь складываем элементы какого-либо столбца, мы берем сумму элементов с «фиксированным вторым индексом»*, то есть со вторым индексом, равным номеру этого столбца.

В обоих случаях складываются все элементы матрицы $%A+$%, поэтому «в двойной сумме можно менять порядок суммирований»*:

$$\sum\limits_{i = 1}^n {} \sum\limits_{j = 1}^m {{a_{ij}} = } \sum\limits_{j = 1}^m {} \sum\limits_{i = 1}^n {{a_{ij}}} .$$

Иначе говоря, элементы матрицы $%A+$% можно складывать вдоль и поперек (то есть сначала вдоль, потом поперек) или поперек и вдоль (то есть сначала поперек, потом вдоль).

Матрицу $%A+$% можно обозначить по- другому, например, $%A(+)$% или еще как-нибудь.

(Поскольку я ссылаюсь на Куроша, то у меня, так же, как и у него i=1, 2, ..., n, j=1, 2, ..., m, хотя чаще количество строк матрицы обозначается через m, а количество столбцов через n.)

*А.Г.Курош. «Курс высшей алгебры», стр. 56.

[https://vk.com/doc57144397_180054379?hash=193c84da77cd858115&dl=c9ad0e545faf32b771][1]