«Определение 2. Мы говорим, что A(x; y) есть билинейная функция (билинейная форма) от векторов x и y, если: 1) при фиксированном y A(x;y) есть линейная функция от x, 2) при фиксированном x A(x;y) есть линейная функция от y. Иными словами, в силу определения линейной функции условия 1) и 2) означают соответственно

$%\begin{array}{*{20}{c}} {1)\,\,\,A({x_1} + {x_2};\,y) = A({x_1};\,y) + A({x_2};\,y),}\\ {A(\lambda x;\,y) = \lambda A(x;\,y),}\\ {2)\,\,\,A(x;\,{y_1} + {y_2}) = A(x;\,{y_1}) + A(x;\,{y_2}),}\\ {A(x;\,\mu y) = \mu A(x;\,y),} \end{array}$%

П р и м е р ы 1. Рассмотрим n-мерное пространство, в котором вектор есть совокупность n чисел. Положим

$%\begin{array}{{20}{c}} A( {x;y}) = {a_{11}}{\xi_1}{\eta_1} + {a_{12}}{\xi_1}{\eta_2} + ... + {a_{1n}}{\xi_1}{\eta_n} + \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + {a_{21}}{\xi_2}{\eta_1} + {a_{22}}{\xi_2}{\eta_2} + ... + {a_{2n}}{\xi_2}{\eta_n} + \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,..............................\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + {a_{n1}}{\xi_n}{\eta_1} + {a_{n2}}{\xi_n}{\eta_2} + ... + {a_{nn}}{\xi _n}{\eta _n}, \end{array}$% (2)

где x есть вектор $% \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\xi_1},}&{{\xi_2},}&{...,}&{{\xi_n}} \end{array}} \right) $%,

а y - вектор $% \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\eta_1},}&{{\eta_2},}&{...,}&{{\eta_n}} \end{array}} \right) $%.

Формула (2) определяет билинейную функцию. В самом деле, если зафиксировать y, т.е. считать $%\begin{array}{*{20}{c}}{{\eta _1},}&{{\eta _2},}&{...,}&{{\eta _n}} \end{array}$% постоянными,

то $%\sum\limits_{i,k = 1}^n {{a_{ik}}{\xi _i}{\eta _k}}$% зависит от $%{\xi _i}$% линейно, т.е. есть линейная функция от x = $%\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{\xi _1},}&{{\xi _2},}&{...,}&{{\xi _n}} \end{array}} \right)$%,

а при постоянных $%\begin{array}{{20}{c}} {{\xi _1},}&{{\xi _2},}&{...,}&{{\xi _n}} \end{array}$% форма A(x;y) - линейная функция от y

(И.М.Гельфанд. "Лекции по линейной алгебре", стр.57 в книге, 53 в сети)

Как понимать, что «при фиксированном y A(x;y) есть линейная функция от x», - а также что, «если зафиксировать y, т.е. считать $%\begin{array}{*{20}{c}} {{\eta _1},}&{{\eta _2},}&{...,}&{{\eta _n}} \end{array}$%

постоянными, то $%\sum\limits_{i,k = 1}^n {{a_{ik}}{\xi _i}{\eta _k}} $%

зависит от $%{\xi _i}$% линейно, т.е. есть линейная функция от x = $%\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\xi _1},}&{{\xi _2},}&{...,}&{{\xi _n}} \end{array}} \right)$%,»?

Я думаю, что понимать это можно так.

$$\begin{array}{*{20}{c}} {A\left( {x;y} \right) = {a_{11}}{\xi_1}{\eta_1} + {a_{12}}{\xi_1}{\eta_2} + ... + {a_{1n}}{\xi_1}{\eta_n} + }\\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + {a_{21}}{\xi_2}{\eta 1} + {a{22}}{\xi_2}{\eta_2} + ... + {a_{2n}}{\xi_2}{\eta_n} + }\\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,.................................................}\\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + {a_{n1}}{\xi_n}{\eta_1} + {a_{n2}}{\xi_n}{\eta_2} + ... + {a_{nn}}{\xi_n}{\eta_n} = } \end{array}$$

$$\begin{array}{*{20}{c}} { = \left( {{a_{11}}{\eta_1}} \right){\xi_1} + \left( {{a_{12}}{\eta_2}} \right){\xi_1} + ... + \left( {{a_{1n}}{\eta_n}} \right){\xi_1} + }\\ {\,\,\, + \left( {{a_{21}}{\eta_1}} \right){\xi_2} + \left( {{a_{22}}{\eta_2}} \right){\xi_2} + ... + \left( {{a_{2n}}{\eta_n}} \right){\xi_2} + }\\ {\,\,\,\,.................................................}\\ {\,\, + \left( {{a_{n1}}{\eta_1}} \right){\xi_n} + \left( {{a_{n2}}{\eta_2}} \right){\xi_n} + ... + \left( {{a_{nn}}{\eta_n}} \right){\xi_n}} \end{array}$$.

(Здесь a, ξ и η - с индексами, - это числа, и поэтому в произведении их можно переставлять местами). Из последней суммы выделим матрицу

$$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {{a_{11}}{\eta_1}} \right)\left( {{a_{12}}{\eta_2}} \right)...\left( {{a_{1n}}{\eta_n}} \right)}\\ {\left( {{a_{21}}{\eta_1}} \right)\left( {{a_{22}}{\eta_2}} \right)...\left( {{a_{2n}}{\eta_n}} \right)}\\ {......................................}\\ {\left( {{a_{n1}}{\eta_1}} \right)\left( {{a_{n2}}{\eta_2}} \right)...\left( {{a_{nn}}{\eta_n}} \right)} \end{array}} \right]$$

(каждый элемент которой стоит в круглых скобках). Каждое выражение, стоящее в этой матрице в круглых скобках обозначим одной буквой с соответствующими индексами: $%{a_{ik}}{\eta_k} = \left( {{b_{ik}}} \right)$%. Получим матрицу $%\left( {{b_{ik}}} \right)$%:

$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_{11}}\,\,{b_{12\,\,}}...\,\,{b_{1n}}}\\ {{b_{21}}\,\,{b_{22\,\,}}...\,\,{b_{2n}}}\\ {.....................}\\ {{b_{n1}}\,\,{b_{n2}}\,\,...\,\,{b_{nn}}} \end{array}} \right)$$ и соответственно сумму $%\sum\limits_{i,k = 1}^n {{b_{ik}}{\xi_i}} $%:

$$\begin{array}{*{20}{c}} {{b_{11}}{\xi_1} + {b_{12}}{\xi_1} + ... + {b_{1n}}{\xi_1} + }\\ { + {b_{21}}{\xi_2} + {b_{22}}{\xi_2} + ... + {b_{2n}}{\xi_2} + }\\ {....................................}\\ { + {b_{n1}}{\xi_n} + {b_{n2}}{\xi_n} + ... + {b_{nn}}{\xi_n}.} \end{array}$$

Элементы матрицы $%\left( {{a_{ik}}} \right)$%:

$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}\,\,{a_{12\,\,}}...\,\,{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}\,\,{a_{22\,\,}}...\,\,{a_{2n}}}\\ {.....................}\\ {{a_{n1}}\,\,{a_{n2}}\,\,...\,\,{a_{nn}}} \end{array}} \right), - $$

билинейной функции A(x; y) фиксированы, поскольку эта функция задана, а ей соответствует единственная матрица $%\left( {{a_{ik}}} \right)$%. Элементы матрицы $%\left( {{b_{ik}}} \right)$% {то есть матрицы $%\left[ {\left( {{a_{ik}}{\eta _k}} \right)} \right]$%} также фиксированы, поскольку фиксированы числа $%\begin{array}{*{20}{c}} {{\eta_1},}&{{\eta_2},}&{...,}&{{\eta_n}} \end{array}$%,

то есть координаты вектора y, который фиксирован по условию.

Фиксированные координаты $%\begin{array}{*{20}{c}} {{\eta_1},}&{{\eta_2},}&{...,}&{{\eta_n}} \end{array}$%

вектора у как бы «сплавляются» с фиксированными элементами матрицы $%\left( {{a_{ik}}} \right)$% в фиксированные же элементы матрицы $%\left( {{b_{ik}}} \right)$%, и только величины $%{\xi _i}$%, то есть координаты $%$% вектора x, являются переменными.

Более того, приведем подобные члены в сумме $%\sum\limits_{i,k = 1}^n {{b_{ik}}{\xi _i}} $%:

$$\begin{array}{*{20}{c}} {{b_{11}}{\xi_1} + {b_{12}}{\xi_1} + ... + {b_{1n}}{\xi_1} + }\\ { + {b_{21}}{\xi_2} + {b_{22}}{\xi_2} + ... + {b_{2n}}{\xi_2} + }\\ {....................................}\\ { + {b_{n1}}{\xi_n} + {b_{n2}}{\xi_n} + ... + {b_{nn}}{\xi_n} = } \end{array}$$

$$\begin{array}{*{20}{c}} { = \left( {{b_{11}} + {b_{12}} + ... + {b_{1n}}} \right){\xi_1} + }\\ { + \left( {{b_{21}} + {b_{22}} + ... + {b_{2n}}} \right){\xi_2} + }\\ {....................................}\\ { + \left( {{b_{n1}} + {b_{n2}} + ... + {b_{nn}}} \right){\xi_n},} \end{array}$$

затем возьмем

$$\begin{array}{*{20}{c}} {{b_{11}} + {b_{12}} + ... + {b_{1n}} = {c_1},}\\ {{b_{21}} + {b_{22}} + ... + {b_{2n}} = {c_2},}\\ {...................................}\\ {{b_{n1}} + {b_{n2}} + ... + {b_{nn}} = {c_n},} \end{array}$$

тогда

$$\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {{b_{11}} + {b_{12}} + ... + {b_{1n}}} \right){\xi_1} + }\\ { + \left( {{b_{21}} + {b_{22}} + ... + {b_{2n}}} \right){\xi_2} + }\\ {....................................}\\ { + \left( {{b_{n1}} + {b_{n2}} + ... + {b_{nn}}} \right){\xi_n} = } \end{array}$$

$$\begin{array}{*{20}{c}} = &{{c_1}{\xi _1}}& + \\ + &{{c_2}{\xi _2}}& + \\ + &{...}& + \\ + &{{c_n}{\xi _n},}&{} \end{array}$$

или $%{c_1}{\xi _1} + {c_2}{\xi _2} + ... + {c_n}{\xi _n},$%, что является уже традиционным выражением (одно-)линейной формы.

Таким образом, действительно, «при фиксированном y A(x;y) есть линейная функция от x».

Положение, что «при фиксированном x A(x;y) есть линейная функция от y» может пониматься аналогично.

http://www.tka4.org/materials/lib/Articles-Books/General/LinearAlgebra&Geometry/gelfand.pdf

опубликован 2 Май 18:34

изменен 4 Май 12:22

10|600 символов нужно символов осталось
Есть вопрос на тему исследования? Задайте вопрос.
Скрыть

пожалуйста, введите содержательный заголовок для вашего вопроса


Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

Метки исследования:

×1,187

опубликовано
2 Май 18:34

просмотрено
226 раз

обновлено
4 Май 12:22

Связанные исследования

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru