линейная-алгебра - Сущность матрицы

«Ма́трица—математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов...» - цитата из Википедии.

«Матрица ... система элементов … расположенных в виде прямоугольной схемы.» - /www.booksite.ru/fulltext/1/001/008/074/415.htm

«Матрицами называются массивы элементов, представленные в виде прямоугольных таблиц,» - неустановленный источник.

«Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.» http://ru.solverbook.com/spravochnik/matricy/

Во всех приведенных определениях говорится о прямоугольной таблице (или прямоугольной схеме):

$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ {{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}& \ldots &{{a_{nn}}} \end{array}} \right).$$

Однако то, что имеется в виду под матрицей, можно записать не только в виде прямоугольной таблицы. Эту «систему элементов» (второе определение) можно представить, например, в виде ряда, то есть в виде совокупности элементов, расположенных в одну линию:

$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\boxed{{a_{11}}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}}&{\boxed{{a_{21}}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}}&{............}&{\boxed{{a_{n1}}}}&{{a_{n2}}}&{...}&{{a_{nn}}} \end{array}} \right), - $$

и даже не обязательно прямую, так же, как и обычную, прямоугольную матрицу можно представить в перекошенном или изогнутом — то есть в не прямоугольном виде (по крайней мере, внешне), лишь бы было видно, где строки и где столбцы.

Сущность матрицы не в том, что это прямоугольная таблица, а в том, что это упорядоченное множество упорядоченных множеств (формулировка не предельно точная, но в общем правильная?).

Если матрица записана в виде линии, надо указать, где кончается одно упорядоченное множество и начинается другое. У меня первый элемент каждого упорядоченного множества взят в рамку (не говоря о том, что при буквах а стоят индексы, которые указывают не только номера строк, но и номера столбцов, впрочем, что касается столбцов, то это я забегаю вперед, о столбцах - в следующем абзаце).

Если провести параллель с прямоугольной матрицей, то можно сказать, что каждое из упорядоченных множеств, из которых состоит матрица, расположенная в линию, составляет строку, первые элементы каждой строки составлют первый столбец, вторые элементы каждой строки - второй столбец и так далее.

Однако надо признать, что запись матрицы в виде прямоугольной таблицы очень удобна — гораздо удобнее, чем у матрицы, записанной в линию, - хотя бы потому, что благодаря двумерному пространственному представлению очень хорошо видно расположение элементов (и, вероятно, не только поэтому).