Это проба пера - я тренируюсь выкладывать формулы.

"Пополнение трехмерного пространства мнимыми элементами — мнимыми точками и мнимыми векторами — происходит совершенно аналогично введению мнимых точек и векторов на плоскости (см. § 4). Предполагается, что в обыкновенном («вещественном») трехмерном пространстве дана произвольная аффинная система координат. Это позволяет каждую точку $%M$% пространства отождествить с тройкой вещественных чисел, ее координат:

$$M=(x,y,z)$$

После этого мы всякую тройку $%x, y, z$% комплексных чисел также объявляем "комплексной" точкой пространства, а сами комплексные числа $%x, y, z$% — называем координатами точки $%M$% в координатной системе. Множество всех комплексных точек образует комплексное трехмерное пространство."

$$\Delta =\begin{vmatrix} A&B \\ C&D \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A&B\\ {C + \left( { - C{A^{ - 1}}} \right)A}&{D + \left( { - C{A^{ - 1}}} \right)B} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A&B\\ 0&{D - C{A^{ - 1}}B} \end{vmatrix} = \left| A \right|\left| {D - C{A^{ - 1}}B} \right| $$

$$D =\begin{vmatrix} {x + 1}&x&x&{...}&x\\ x&{x + a}&x&{...}&x\\ x&x&{x + {a^2}}&{...}&x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x&x&x&{...}&{x + {a^n}} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x&x&x&{...}&x\\ x&{x + a}&x&{...}&x\\ x&x&{x + {a^2}}&{...}&x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x&x&x&{...}&{x + {a^n}} \end{vmatrix} + $$

$$ = \begin{vmatrix} 1&0&0&{...}&x\\ 0&a&0&{...}&x\\ 0&0&{{a^2}}&{...}&x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0&0&0&{...}&{\left( {x + {a^n}} \right) + x{a^n} + x{a^{n - 1}} + x{a^{n - 2}} + ... + xa} \end{vmatrix} = $$

$$d = \begin{vmatrix} 1&1&1&{...}&1\\ {{a_1}}&{{a_2}}&{{a_3}}&{...}&{{a_n}}\\ {a_1^2}&{a_2^2}&{a_3^2}&{...}&{a_n^2}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {a_1^{n - 1}}&{a_2^{n - 1}}&{a_3^{n - 1}}&{...}&{a_n^{n - 1}} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1&1&1&{...}&1\\ 0&{{a_2} - {a_1}}&{{a_3} - {a_1}}&{...}&{{a_n} - {a_1}}\\ 0&{a_2^2 - {a_1}{a_2}}&{a_3^2 - {a_1}{a_3}}&{...}&{a_n^2 - {a_1}{a_n}}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0&{a_2^{n - 1} - {a_1}a_2^{n - 2}}&{a_3^{n - 1} - {a_1}a_3^{n - 2}}&{...}&{a_n^{n - 1} - {a_1}a_n^{n - 2}} \end{vmatrix} = $$

$$\ \begin{pmatrix} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {{b_{11}}}\\ {{b_{21}}}\\ {...}\\ {{b_{n1}}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {{a_{11}}{b_{11}}}\\ + \\ {{a_{12}}{b_{21}}}\\ + \\ {...}\\ + \\ {{a_{1n}}{b_{n1}}} \end{pmatrix} = {c_{11}}.$$

$$\,\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\,\,\,\,\,{a_{11}}{b_{11}} + }\\ { + \,\,\,{a_{12}}{b_{21}} + }\\ {\,\, + \,\,\,\,\,\,\,...\,\,\,\,\,\,\, + }\\ { + \,\,\,\,\,{a_{1n}}{b_{n1}}} \end{array}} \right),$$

$$\left( {\,\begin{array}{*{20}{c}} {}&{{a_{11}}{b_{11}}}\\ + &{}\\ {}&{{a_{12}}{b_{21}}}\\ + &{}\\ {}&{...}\\ + &{}\\ {}&{{a_{1n}}{b_{n1}}} \end{array}} \right)$$

$$\,\,\left( {\,\begin{array}{*{20}{c}} {}&{{a_{11}}{b_{11}}}\\ + &{}\\ {}&{{a_{12}}{b_{21}}}\\ + &{}\\ {}&{...}\\ + &{}\\ {}&{{a_{1n}}{b_{n1}}} \end{array}} \right){\rm{,}}\,\,$$

$$Z = \begin{pmatrix}{l} \begin{pmatrix} {{z_{11}}}&{{z_{12}}}&{\,.\,..}&{\,{z_{1k}}\,\,\,\,\,\,\,}&{\,\,\,\,\,\,\,...}&{{z_{1n}}}\\ {{z_{21}}}&{{z_{22}}}&{\,...}&{\,{z_{2k}}\,\,\,\,\,\,}&{\,\,\,\,\,\,\,...}&{{z_{2n}}} \end{pmatrix}\\ ...................................................................\\ \begin{pmatrix} {{z_{j1}}}&{\,{z_{j2}}}&{\,...}&{{z_{jk}}}&{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,...}&{\,{z_{jn}}} \end{pmatrix}\\ ...................................................................\\ \begin{pmatrix} {{z_{n1}}}&{\,{z_{n2}}}&{\,\,...}&{{z_{nk}}\,\,\,\,\,\,\,}&{\,\,\,\,\,\,...}&{{z_{nn}}} \end{pmatrix} \end{pmatrix} ,$$

$$ = \,\,\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_{i1}}}&{\,\,\,{c_{i2}}}&{\,\,...}&{\,\,{c_{ik}}}&{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,...}&{\,{c_{in}}} \end{array}} \right).\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$$

$$Z = ({z_{\alpha l}}) = EijC = ({e_{\alpha \beta }})({c_{k = \beta ,\,\,l}}) = ({e_{\alpha \beta }})({c_{\beta l}}).\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Z = ({z_{\alpha l}}) = EijC = ({e_{\alpha \beta }})({c_{\beta l}}) = $$

$$ = \left( {{a_2} - {a_1}} \right)\left( {{a_3} - {a_1}} \right)...\left( {{a_n} - {a_1}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{}&{}\\ {}&1&1&{...}&1\\ {}&{{a_2}}&{{a_3}}&{...}&{{a_n}}\\ {}& \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {}&{a_2^{n - 2}}&{a_3^{n - 2}}&{...}&{a_n^{n - 2}} \end{array}} \right| = $$

$$ \begin{bmatrix} \,\,\,\,\,\ {{a_{11}}{a_{12}}...{a_{1m}}} \\ \\ \,\,\,\,\,\,\ {{a_{21}}{a_{22}}...{a_{2m}}} \\ \\ \,\,\,\,\,\,...............................\\ \\ \,\,\,\,\,\, {{a_{n1}}{a_{n2}}...{a_{nm}}} \end{bmatrix} .$$

$%\[\begin{array}{*{20}{c}} {A\left( {x;y} \right) = {a_{11}}{\xi 1}{\eta _1} + {a{12}}{\xi 1}{\eta _2} + ... + {a{1n}}{\xi 1}{\eta _n} + }\\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + {a{21}}{\xi 2}{\eta _1} + {a{22}}{\xi 2}{\eta _2} + ... + {a{2n}}{\xi 2}{\eta _n} + }\\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,.................................................}\\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + {a{n1}}{\xi n}{\eta _1} + {a{n2}}{\xi n}{\eta _2} + ... + {a{nn}}{\xi _n}{\eta _n},} \end{array}\]$%

$%\begin{vmatrix} {A {x;y} = {a_{11}}{\xi 1}{\eta _1} + {a{12}}{\xi 1}{\eta _2} + ... + {a{1n}}{\xi 1}{\eta _n} + }\\ { + {a{21}}{\xi 2}{\eta _1} + {a{22}}{\xi 2}{\eta _2} + ... + {a{2n}}{\xi 2}{\eta _n} + }\\ {................................}\\ { + {a{n1}}{\xi n}{\eta _1} + {a{n2}}{\xi n}{\eta _2} + ... + {a{nn}}{\xi _n}{\eta _n},} \end{vmatrix}$%

$%\[\begin{array}{*{20}{c}} {A\left( {x;y} \right) = {a_{11}}{\xi 1}{\eta _1} + {a{12}}{\xi 1}{\eta _2} + ... + {a{1n}}{\xi 1}{\eta _n} + }\\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + {a{21}}{\xi 2}{\eta _1} + {a{22}}{\xi 2}{\eta _2} + ... + {a{2n}}{\xi 2}{\eta _n} + }\\ {.............................}\\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + {a{n1}}{\xi n}{\eta _1} + {a{n2}}{\xi n}{\eta _2} + ... + {a{nn}}{\xi _n}{\eta _n},} \end{array}\]$%

$$ \begin{vmatrix} {A\ {x;y} = {a_{11}}{\xi 1}{\eta _1} + {a{12}}{\xi 1}{\eta _2} + ... + {a{1n}}{\xi 1}{\eta _n} + }\\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + {a{21}}{\xi 2}{\eta _1} + {a{22}}{\xi 2}{\eta _2} + ... + {a{2n}}{\xi 2}{\eta _n} + }\\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,.................................................}\\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + {a{n1}}{\xi n}{\eta _1} + {a{n2}}{\xi n}{\eta _2} + ... + {a{nn}}{\xi _n}{\eta _n},} \end{vmatrix} $$

$%\begin{matrix} {a_{11}}{\eta 1}} {a{12}}{\eta 2}} {{a{1n}}{\eta n}} \\ {{a{21}}{\eta 1}} {{a{22}}{\eta 2}} {{a{2n}}{\eta n}} \\ {......................................}\\ {{a{n1}}{\eta 1}} {{a{n2}}{\eta 2}} {{a{nn}}{\eta _n}} \end{matrix} $%

$$\begin{matrix} {x + 1}&x&x&{...}&x\\ x&{x + a}&x&{...}&x\\ x&x&{x + {a^2}}&{...}&x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x&x&x&{...}&{x + {a^n}} \end{matrix}$$

$$\begin{matrix} x&x&x&{...}&x\\ x&{x + a}&x&{...}&x\\ x&x&{x + {a^2}}&{...}&x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x&x&x&{...}&{x + {a^n}} \end{matrix} + $$

$$\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}$$

$$\Delta =\begin{vmatrix} A&B \\ C&D \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A&B \\ {C + \left( { - C{A^{ - 1}}} \right)A}&{D + \left( { - C{A^{ - 1}}} \right)B} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A&B \\ 0&{D - C{A^{ - 1}}B} \end{vmatrix} = \left| A \right|\cdot\left| {D - C{A^{ - 1}}B} \right| \quad (I) $$

$$\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {{b_{11}} + {b_{12}} + ... + {b_{1n}}} \right){\xi 1} + }\\ { + \left( {{b{21}} + {b_{22}} + ... + {b_{2n}}} \right){\xi 2} + }\\ {....................................}\\ { + \left( {{b{n1}} + {b_{n2}} + ... + {b_{nn}}} \right){\xi _n} = } \end{array}$$

$$\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {{b_{11}} + {b_{12}} + ... + {b_{1n}}} \right){\xi 1} + }\\ { + \left( {{b{21}} + {b_{22}} + ... + {b_{2n}}} \right){\xi 2} + }\\ {....................................}\\ { + \left( {{b{n1}} + {b_{n2}} + ... + {b_{nn}}} \right){\xi _n} = } \end{array}$$

$$\Delta =\begin{vmatrix} A&B \\ C&D \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A&B \\ {C + \left( { - C{A^{ - 1}}} \right)A}&{D + \left( { - C{A^{ - 1}}} \right)B} \end{vmatrix} =$$

$$ = \begin{vmatrix} A&B \\ 0&{D - C{A^{ - 1}}B} \end{vmatrix} = \left| A \right|\cdot\left| {D - C{A^{ - 1}}B} \right| \quad (I) $$

где $%x$% есть вектор $% \left( {\{array}{{20}{c}} {{\xi_1},}&{{\xi_2},}&{...,}&{{\xi_n}} \end{array}} \right)$%, а $%y$% - вектор $%\left| {\begin{array}{{20}{c}} {{\eta_1},}&{{\eta_2},}&{...,}&{{\eta_n}} \end{array}} \right|$%.

Я думаю, я понял, в чем дело.

Там написано:

$$ {A_{ij}} = ({a_1} - x) \cdot \ldots \cdot ({a_{i - 1}} - x) \cdot ({a_{i + 1}} - x) \cdot \ldots \cdot ({a_n} - x) $$

а должно быть:

$$ {A_{ij}}= ({a_1} - x) \cdot \ldots \cdot ({a_{k - 1}} - x) \cdot ({a_{k + 1}} - x) \cdot \ldots \cdot ({a_n} - x) $$

и тогда

$${D_n} = \prod\limits_{i = 1}^n {({a_i} - x)} + x \cdot \sum\limits_{k = 1}^n {\prod\limits_{i = 1,\,\,i \ne k}^n {({a_i} - x)} } .$$

$$det\,\,A = \begin{vmatrix} {{b_{11}}}&{{b_{12}}}&{{b_{13}}}&{...}&{{b_{1n}}} \\ {{b_{21}}}&{{b_{22}}}&{{b_{23}}}&{...}&{{b_{2n}}} \\ {{b_{31}}}&{{b_{32}}}&{{b_{33}}}&{...}&{{b_{3n}}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {{b_{n1}}}&{{b_{n2}}}&{{b_{n3}}}&{...}&{{b_{nn}}} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} {{a_1} - x}&0&0&{...}&0 \\ 0&{{a_2} - x}&0&{...}&0 \\ 0&0&{{a_3} - x}&{...}&0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0&0&0&{...}&{{a_n} - x} \end{vmatrix} .$$

$$D =\begin{vmatrix} {x + 1}&x&x&{...}&x\\ x&{x + a}&x&{...}&x\\ x&x&{x + {a^2}}&{...}&x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x&x&x&{...}&{x + {a^n}} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x&x&x&{...}&x\\ x&{x + a}&x&{...}&x\\ x&x&{x + {a^2}}&{...}&x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x&x&x&{...}&{x + {a^n}} \end{vmatrix} + $$

где $%x$% есть вектор $% (\xi_1,\xi_2,...,\xi_n) $%, а $%y$% - вектор $% (\eta_1,\eta_2,...,\eta_n) $%.

последовательности пишут самым обычным образом, перечисляя элементы через запятую, безо всяких массивов. Выглядит это так: $%x$% есть вектор $%(\xi_1,\xi_2,...,\xi_n)$%, а $%y$% есть вектор $%(\eta_1,\eta_2,...,\eta_n)$%.

Зачем в алгебраических дополнениях элементов определителя $%\det A$% менять индексы при $%A$% с $%ij$% на $%kl$%, то есть брать не $%{A_{ij}}$%, а $%{A_{kl}}$%?

Дело в том, что в итоговой формуле

$${D_n} = \prod\limits_{i = 1}^n {({a_i} - x)} + x \cdot \sum\limits_{k = 1}^n {\prod\limits_{i = 1,\,\,i \ne k}^n {({a_i} - x)} } $$

суммирование совершается по $%k$%, а умножение по $%i$% (поскольку и то, и другое не может совершаться по одному и тому же индексу), и хотелось бы, чтобы не только в формуле, но и во всей задаче сохранялся тот же принцип.

Поэтому $%{D_n} = \det A + x \cdot \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {{A_{ij}}} } $% (выражение, стоящее в учебнике) я поменял на $%{D_n} = \det A + x \cdot \sum\limits_{k = 1}^n {\sum\limits_{l = 1}^n {{A_{kl}}} } $%.

Поскольку все не равные нулю алгебраические дополнения стоят на главной диагонали, то

$${D_n} = \det A + x \cdot \sum\limits_{k = 1}^n {\sum\limits_{l = 1}^n {{A_{kl}}} = } \det A + x \cdot \sum\limits_{k = 1}^n {{A_{kk}}} $$

и, соответственно,

$${A_{kk}} = ({a_1} - x) \cdot \ldots \cdot ({a_{k - 1}} - x) \cdot ({a_{k + 1}} - x) \cdot \ldots \cdot ({a_n} – x).$$

Здесь умножение совершается по $%i$%, которое не должно быть равно $%k$%.

Конечно, итоговая формула от произведенной смены индексов не поменялась, но, как мне кажется, выиграла стройность изложения.

Кроме того.

В данной задаче, вследствие диагонального положения ненулевых алгебраических дополнений, индексы элементов множества $%\{ {a_i}\} = \{ {a_1},\,\,{a_2}\,...,\,\,{a_n}\} $%, являющегося основой для построения выражений

$%({a_1} - x) \cdot ({a_2} - x) \cdot \ldots \cdot ({a_n} - x) = \prod\limits_{i = 1}^n {({a_i} - x)} $% (равному $%\det A$%) и

$%({a_1} - x) \cdot \ldots \cdot ({a_{k - 1}} - x) \cdot ({a_{k + 1}} - x) \cdot \ldots \cdot ({a_n} - x)$% (равному$%{A_{kk}}$%),

совпадают с индексами этих алгебраических дополнений, и поэтому их можно выразить одной и той же буквой, например, буквой $%i$%, что и сделано в учебнике.

Однако, если бы условие задачи было другим и не все ненулевые алгебраические дополнения$%{A_{kl}}$%
располагались на главой диагонали, сделать этого было бы нельзя.

Поэтому полагаю, что смена индексов элементов определителя $%\det A$% с $%ij$% на $%kl$% может здесь производиться также из соображений универсальности. Впрочем, для большей убедительности этого довода хорошо было бы подкрепить его соответствующей задачей, в которой бы не все не равные нулю алгебраические дополнения стояли на главной диагонали.

Добавлю еще, что в учебнике стоит:

$${A_{ij}} = ({a_1} - x) \cdot \ldots \cdot ({a_{i - 1}} - x) \cdot ({a_{i + 1}} - x) \cdot \ldots \cdot ({a_n} - x), - $$

но точнее было бы:

$${A_{ii}} = ({a_1} - x) \cdot \ldots \cdot ({a_{i - 1}} - x) \cdot ({a_{i + 1}} - x) \cdot \ldots \cdot ({a_n} - x), - $$

поскольку речь идет о диагональных алгебраических дополнениях.

У меня самого во втором комментарии к «Нет ли ошибки в учебнике?» (к самому первому варианту) такая же неточность, которую я исправил после подсказки

$$\sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}} = {2^n}$$

$$R^n$$

$${x^'}$$

$${x'}$$

$$ \to \left\{ {\begin{array}{{20}{c}} {8/3 + 4{x_2} + 6{x_3} + 1 + {x_2} = 0,} \\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 6{x_2} + 9{x_3} + {x_3} = 0,} \\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_5} + {x_5} = 0,} \end{array}} \right. \to $$

Промучившись полгода, вдруг обнаружил, что надо всего-навсего в каждом {*{20}{c}} стереть звездочку, и все прекрасно выкладывается!

Работал в основном с матрицами.

И еще: до и после $$ или $% надо убрать \\ [

И еще одна частность: вместо тильды надо писать sim

Теперь пока что проблем с конвертированием из MathType в LaTex больше не имею.

Может быть, в четырнадцатой строчке статьи снизу вместо

«алгебраическому дополнению  $%{(ker\,\,A)^ + }$%

должно быть

ортогональному дополнению  $%{(ker\,\,A)^ \bot }$%?`

$$\left\langle {\mathcal{A}(x),y} \right\rangle = \left\langle {x,{\mathcal{A}^ * }(y)} \right\rangle .$$

$$v''{i}=\sum \limits {j}B_{ij}\sum \limits {k}A{jk}v_{k}=\sum \limits {j}\sum \limits {k}B_{ij}A_{jk}v_{k}=\sum \limits {k}\sum \limits {j}(B_{ij}A_{jk})v_{k},$$

$%L_k$%

$$\[A' = {C^{ - 1}}A{({C^{ - 1}})^T}\]$$

$$ a^2 $$

$$\left( {A\over B} \right)$$

$$\left[ {A\over B} \right]$$

$$ {A\over B} \right\}$$

$$\[ \int\limits_a^b\frac12 (1+x)^{-3/2}\,\mathrm{d}x= \left.-\frac{1}{\sqrt{1+x}} \right|_a^b \]$$

Это проба пера - я тренируюсь выкладывать формулы.

$$\Delta =\begin{vmatrix} A&B \\ C&D \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A&B\\ {C + \left( { - C{A^{ - 1}}} \right)A}&{D + \left( { - C{A^{ - 1}}} \right)B} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A&B\\ 0&{D - C{A^{ - 1}}B} \end{vmatrix} = \left| A \right|\left| {D - C{A^{ - 1}}B} \right| $$

$$D =\begin{vmatrix} {x + 1}&x&x&{...}&x\\ x&{x + a}&x&{...}&x\\ x&x&{x + {a^2}}&{...}&x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x&x&x&{...}&{x + {a^n}} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x&x&x&{...}&x\\ x&{x + a}&x&{...}&x\\ x&x&{x + {a^2}}&{...}&x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x&x&x&{...}&{x + {a^n}} \end{vmatrix} + $$

$$ = \begin{vmatrix} 1&0&0&{...}&x\\ 0&a&0&{...}&x\\ 0&0&{{a^2}}&{...}&x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0&0&0&{...}&{\left( {x + {a^n}} \right) + x{a^n} + x{a^{n - 1}} + x{a^{n - 2}} + ... + xa} \end{vmatrix} = $$

$$d = \begin{vmatrix} 1&1&1&{...}&1\\ {{a_1}}&{{a_2}}&{{a_3}}&{...}&{{a_n}}\\ {a_1^2}&{a_2^2}&{a_3^2}&{...}&{a_n^2}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {a_1^{n - 1}}&{a_2^{n - 1}}&{a_3^{n - 1}}&{...}&{a_n^{n - 1}} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1&1&1&{...}&1\\ 0&{{a_2} - {a_1}}&{{a_3} - {a_1}}&{...}&{{a_n} - {a_1}}\\ 0&{a_2^2 - {a_1}{a_2}}&{a_3^2 - {a_1}{a_3}}&{...}&{a_n^2 - {a_1}{a_n}}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0&{a_2^{n - 1} - {a_1}a_2^{n - 2}}&{a_3^{n - 1} - {a_1}a_3^{n - 2}}&{...}&{a_n^{n - 1} - {a_1}a_n^{n - 2}} \end{vmatrix} = $$

$$\ \begin{pmatrix} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {{b_{11}}}\\ {{b_{21}}}\\ {...}\\ {{b_{n1}}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {{a_{11}}{b_{11}}}\\ + \\ {{a_{12}}{b_{21}}}\\ + \\ {...}\\ + \\ {{a_{1n}}{b_{n1}}} \end{pmatrix} = {c_{11}}.$$

$$ \{{},{a_1},{a_2},{a_3}\}$$

Если я ошибаюсь, пусть меня поправят.

1.

Возьмем $%2n$%-мерное вещественное евклидово пространство $%L$%, ортонормированный базис которого состоит из векторов $% {e_1},{e_2},...,{e_n},i{e_1},i{e_2},...,i{e_n}$%.

(То, что у половины этих векторов в обозначении стоит буква $%i$%, не должно сбивать нас с толку, пока что это вовсе не значит, что они имеют в себе что-то "комплексное". Это просто обозначение, которое в дальнейшем окажется удобным.)

В пространстве $%L$% имеется $%n$% подпространств $%L_k$%, каждое из которых имеет базис, состоящий из двух векторов $%e_k, ie_k$%.

Назовем подпространства $%L_k$% базисными плоскостями пространства $%L$%.

Возьмем вектор $%x \subset L$%, $%x = {\xi _1}{e_1} + i{\xi _1}i{e_1} + {\xi _2}{e_2} + i{\xi _2}i{e_2} + ... + {\xi _n}{e_n} + i{\xi _n}i{e_n}$%,

где $%{\xi _1},{\xi _2},\,...,{\xi _n},i{\xi _1},i{\xi _2},\,...,i{\xi _n}$% его координаты по базису $% {e_1},{e_2},...,{e_n},i{e_1},i{e_2},...,i{e_n}$%.

Вектор $%x$% можно разложить в сумму векторов $%a_k$%, каждый из которых принадлежит соответствующей базисной плоскости $%L_k$%: $%x = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_k}} $%, - поскольку $%L$% является прямой суммой своих подпространств $%L_k:L=L_1\oplus...\oplus\ L_n$%.

Назовем векторы $%a_k$% составляющими вектора $%x$%.

Назовем аргументом вектора $%a \subset {L_k}$% угол между $%a$% и базисным вектором $%e_k$%.

(Аргумент вектора $%a$%, так же, как и его модуль, можно найти, зная его вещественные координаты по базисным векторам $%e_k, ie_k$%).

Определим произведение вектора $%a$% на комплексное число $%z$% следующим образом.

Будем считать результатом перемножения $%a$% на $%z$% вектор $%b \subset {L_k}$%, модуль которого равен произведению модулей $%a$% и $%z$%, а аргумент равен сумме их аргументов.

(Для этого пространство $%L$% должно быть евклидовым, то есть таким, в котором определены длины векторов и углы между ними).

Каждую составляющую $%a_k$% вектора $%x$% можно представить в виде произведения базисного вектора $%e_k$% и комплексного числа $%z_k:a_k =z_k e_k $%, причем модуль и аргумент вектора $%a_k$% равны соответственно модулю и аргументу комплексного числа $%z_k$% [поскольку базис $% {e_1},{e_2},...,{e_n},i{e_1},i{e_2},...,i{e_n}$% (орто-) нормированный].

Таким образом, $%x=a_1+a_2+...+a_n=z_1e_1+z_2e_2+...+z_ne_n$%.

То есть мы представили пространство $%L$% в виде комплексного пространства с базисом $%e_1, e_2, ..., e_n$%.

При этом векторы $%ie_k$% перестали быть базисными.

Теперь пространство $%L$% можно обозначить $%L^C$%.

Таким образом, мы осуществили комплексификацию* вещественного пространства $%L$%.

(* Мы сделали это не так, как общепринято это делать, об этом ниже - в п. 4.)

Для того, чтобы перейти от комплексных координат $%z_1, z_2, ..., z_n$% вектора $%x$% к его вещественным координатам $%\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n$% надо перевести комплексные координаты каждой составляющей $%a_k$% в вещественные. Для этого достаточно вернуться к представлению, что каждый вектор $%a_k$% находится в вещественном двухмерном пространстве $%L_k$% (подпространстве вещественного пространства $%L$%) с базисными векторами $%e_k, ie_k$%: $%a_k=\xi_ke_k+ i\xi_kie_k$%, - и, зная его модуль и аргумент (угол относительно вектора $%e_k$%) - которые равны соответственно модулю и аргументу комплексного числа $%z_k$%, - найти его координаты $%\xi_k, i\xi_k$% по векторам $%e_k, ie_k$%.

При таком представлении у пространства $%L$% снова становится $%2n$% базисных векторов - это все векторы $% {e_1},{e_2},...,{e_n},i{e_1},i{e_2},...,i{e_n}$%, - размерность пространства $%L$%, соответственно, снова становится $%2n$%, само оно снова становится вещественным, и его можно обозначить $%L^R$%, чтобы подчеркнуть его вещественную "ипостась".

(* В самом деле, здесь можно провести параллель с божественным триединством: $%L$% - пространство вообще, $%L^R$% - то же пространство, когда его векторы умножаются на вещественные числа, $%L^C$% - то же пространство, когда его векторы умножаются на комплексные числа. По составу векторов $%L$%, $%L^R$% и $%L^C$% представляют собой одно и то же.)

Таким образом, $%x=a_1+a_2+...+a_n= {\xi _1}{e_1} + i{\xi _1}i{e_1} + {\xi _2}{e_2} + i{\xi _2}i{e_2} + ... + {\xi _n}{e_n} + i{\xi _n}i{e_n}$%,

где $%{\xi _1},{\xi _2},\,...,{\xi _n},i{\xi _1},i{\xi _2},\,...,i{\xi _n}$% вещественные координаты вектора $%x$%.

То есть мы произвели овеществление комплексного пространства $%L^C$%.

Чтобы умножить вектор $%x \subset L$% на комплексное число $%z$% (так же, как и в случае умножения его на вещественное число), надо умножить на это число каждую из составляющих $%a_k$% вектора $%x$% и полученные произведения сложить:

$$zx=z(a_1+a_2+...+a_n)=za_1+za_2+...+za_n=$$

$$=z(z_1e_1)+z(z_2e_2)+...+z(z_ne_n)=(zz_1)e_1+(zz_2)e_2+...+(zz_n)e_n$$

что равносильно (так же, как и при умножении вектора $%x$% на вещественное число) умножению на это число (на $%z$%) каждой координаты вектора $%x$%.

2.

Умножение вектора, лежащего в базисной плоскости $%L_k$%, на комплексное число можно определить в любой форме (не обязательно в геометрической, как мы это сделали).

Независимо от формы, на этот вектор следует смотреть как на комплексное число, которое умножается на другое комплексное число. На ось, в которой лежит базисный вектор $%e_k$% следует смотреть как на вещественную ось, а на ось, в которой лежит базисный вектор $%ie_k$% как на мнимую.

3.

Базис $% {e_1},{e_2},...,{e_n},i{e_1},i{e_2},...,i{e_n}$% был взят ортонормированный, однако он мог бы быть не полностью, а лишь частично ортонормированным — в пределах каждой отдельно взятой базисной плоскости, чтобы быть совместимым с плоскостью комплексных чисел.

То есть углы между попарно взятыми векторами $%e_1$% и $%ie_1$%, $%e_2$% и $%ie_2$% и так далее, должны быть прямыми, но углы между векторами $%e_1, e_2, ..., e_n$% могут быть произвольными (не обязательно прямыми).

То же касается и модулей базисных векторов: модули попарно взятых векторов $%e_1$% и $%ie_1$%, $%e_2$% и $%ie_2$% и так далее, должны быть равными, но модули векторов $%e_1, e_2, ..., e_n$% могут быть не равными между собой.

Более того, модули векторов $%e_1, e_2, ..., e_n$% и углы между ними могут быть неопределенными, то есть пространство $%L$% может быть не полностью, лишь частично евклидовым.

4.

Можно пойти еще дальше.

Назовем линейное пространство, в котором не определены длины векторов и углы между векторами, просто линейным пространством.

(В евклидовом пространстве длины векторов и углы между векторами определены.)

Пусть $%{\tilde L}$% просто линейное пространство размерности $%2n$%, $%L$% евклидово пространство той же размерности. Поставим во взаимно-однозначное соответствие каждому вектору $%b$% пространства $%L$% вектор $%{\tilde b}$% пространства $%{\tilde L}$%.

Пусть векторы $%x,y \subset L$%, векторы $%{\tilde x},{\tilde y} \subset {\tilde L}$%.

Определим произведение вектора $%{\tilde x}$% на комплексное число z по формуле $%zx=y \to z{\tilde x}={\tilde y}$%.

Таким образом получаем комплексное просто линейное пространство $%{\tilde L}$%, в котором каждой паре (вектор, комплексное число) ставится в соответствие вектор того же пространства.

Мы пришли к тому, с чего начинает П.Александров.

В http://scask.ru/c_book_agm.php?id=106 он пишет:

"Пополнение трехмерного пространства мнимыми элементами — мнимыми точками и мнимыми векторами — происходит совершенно аналогично введению мнимых точек и векторов на плоскости (см. § 4). Предполагается, что в обыкновенном («вещественном») трехмерном пространстве дана произвольная аффинная система координат. Это позволяет каждую точку $%M$% пространства отождествить с тройкой вещественных чисел, ее координат:

$$M=(x,y,z)$$

После этого мы всякую тройку $%x, y, z$% комплексных чисел также объявляем "комплексной" точкой пространства, а сами комплексные числа $%x, y, z$% — называем координатами точки $%M$% в координатной системе. Множество всех комплексных точек образует комплексное трехмерное пространство."

То есть то, к чему мы пришли, он утверждает («объявляет») аксиоматически.

Кстати, в этом представлении видно то, в чем общепринятая система отличается от системы, которая предлагается в данной работе.

Отличие это не принципиальное, но имеет место.

Обычно при переходе от вещественного пространства к комплексному сначала берется $%n$%-мерное вещественное пространство $%L$% (произвольной четности), затем к нему добавляется $%n$% осей (то есть берется внешняя прямая сумма $%L \oplus L$%) чтобы можно было умножать его векторы на комплексные числа (то есть чтобы дать для этого необходимое дополнительное пространство). Можно было бы сказать, что получаемое пространство обязательно имеет четное число измерений ($%2n$%), если бы его рассматривали с «вещественной» точки зрения. Но с такой точки зрения его не рассматривают, потому что при этом вводят операцию умножения его векторов на комплексные числа, а для этой операции требуется вдвое меньше базисных векторов, чем для умножения на вещественные числа, то есть в получаемом пространстве базисных векторов столько же, сколько их было в исходном пространстве. (Размерность пространства равна числу его базисных векторов.)

В такой системе есть определенное неудобство.

Казалось бы операции комплексификации и овеществления должны бы были быть взаимно-обратными, то есть, проведя по отношению к одному и тому же пространству сначала одну операцию, потом другую, должны были бы вернуться к сходному пространству. Однако здесь это не так.

Это приводит к тому, что в общепринятой системе, если повторить операции комплексификации и овеществления несколько раз, то с каждым разом размерность пространства $%L$% будет возрастать вдвое:

a) возьмем вещественное пространство $%L_1^R$% размерности $%n$% и комплексифицируем его, получим комплексное пространство $%L_1^C$% размерности $%n$%;

возьмем полученное комплексное пространство $%L_1^C$% размерности $%n$% и овеществим его, получим вещественное пространство $%L_2^R$% размерности $%2n$%;

b) возьмем полученное вещественное пространство $%L_2^R$% размерности $%2n$% и комплексифицируем его, получим комплексное пространство $%L_2^C$% размерности $%2n$%;

возьмем полученное комплексное пространство $%L_2^C$% размерности $%2n$% и овеществим его, получим вещественное пространство $%L_3^R$% размерности $%4n$%, -

и так далее.

Мы видим, что размерность (число базисных векторов, число осей) в пространстве $%L$% возрастает с $%n$% в $%L_1^R$% до $%4n$% в $%L_3^R$%.

Впрочем, об этих пространствах нельзя сказать к тому же, что это одно и то же пространство (пространство $%L$%).

В предлагаемой системе этого возрастания размерности не произойдет, потому что размерность $%L^R$% будет оставаться все время $%2n$%, размерность $%L^C$% будет оставаться все время $%n$%, поскольку основа этой системы в том, что состав векторов пространства как при комплексификации, так и при овеществлении остается неизменным.

(Кстати, обратного хода, то есть понижения размерности, при проведении цепи этих операций по общепринятой системе быть не может, потому что размерность может только повышаться или оставаться на месте.)

Тем не менее, как уже было сказано, различие в системах непринципиальное.

К тому же оно касается только комплексификации, овеществление трактуется одинаково.

5.

Как комплексные, так и вещественные числа выступают в роли линейных операторов, которые переводят* векторы линейного пространства в векторы этого же пространства.

(«Переводят» - это условное выражение, оно годилось бы для переменного вектора, но мы употребляем его и в данном контексте, где выражение «переводят векторы в векторы» означает «заменяют векторы на векторы».)

6.

Популярное изложение.

Возьмем пространство $%L$%.

Не будем пока называть его ни вещественным, ни комплексным.

Пусть оно будет евклидово, то есть пусть у него будут определены длины векторов и углы между векторами. Это пространство подобно тому, в котором мы живем.

Сначала возьмем его двумерным - в самом обычном смысле, в каком это понимает дикарь, который никогда не слышал о комплексном пространстве.

Векторы этого пространства пусть будут направленными отрезками — в обычном смысле.

Они могут складываться между собой - по правилу параллелограмма.

Предварительно они могут претерпевать некоторые изменения (опять же, - см. п.5, - условно говоря!*).

(*С полным правом это, так же, как и в п. 5, можно было бы сказать только о переменных векторах.)

Эти изменения могут совершаться либо при помощи обычных чисел (то есть чисел, которые укладываются в одну линию — числовую ось, - в дикарском понимании) — такие числа называются вещественными (действительными), - либо при помощи комплексных чисел.

Если вектор умножить на вещественное число, то он от этого может удлинниться или укоротиться (условно говоря!) или остаться таким, каким был (если его умножить на единицу).

Если же его умножить на комплексное число, то он, вдобавок к этому, может еще и повернуться вокруг начала координат.

В этом нет ничего мистического.

Вектор $%y$%, который получается в результате умножения вектора $%x$% на комплексное число $%z$%: $%y=zx$% (так же, как и вектор $%w$%, который получается в результате умножения вектора $%x$% на вещественное число $%\xi$%: $%w=\xi x$%), находится в пределах того же самого двухмерного (в дикарском понимании) пространства $%L$%, в котором находится вектор $%x$%.

То есть пространство* то же самое, векторы те же самые, однако, когда они умножаются на вещественные числа, пространство это принято называть вещественным, а когда на комплексные числа, тогда — комплексным.

(*Пространство как множество векторов, с указанием, что они могут умножаться на числа, но без указания, на какие именно числа они могут умножаться - на вещественные или на комплексные.)

Само по себе умножение вектора на вещественное число отличается от умножения на комплексное число. Если бы мы в одномерном пространстве (в дикарском понимании) захотели умножить вектор на комплексное число, то не смогли бы этого сделать, потому что мы не смогли бы повернуть этот вектор — у нас для этого не хватило бы пространства.

Поэтому минимальной размерностью пространства (в дикарском понимании), в котором возможно умножение вектора на комплексное число, является 2 .

При этом это двухмерное (в дикарском понимании) пространство, эта плоскость - с точки зрения нормальных людей, - когда ее векторы умножаются на комплексные числа, называется уже не двухмерным, а одномерным комплексным пространством, то есть комплексной прямой!

А комплексная плоскость это то, что у дикарей считается четырехмерным пространством.

Теперь возьмем пространство $%L$% (евклидово) не двухмерным (с «вещественной», или дикарской точки зрения), а $%2n$%-мерным (тоже с «вещественной» точки зрения).

(Вообще, комплексное пространство, если на него смотреть с «вещественной» точки зрения, может быть только четномерным.)

Так же, как и в рассмотренном двухмерном (с точки зрения дикаря) случае, не будем пока что называть его ни вещественным, ни комплексным.

Оно имеет $%2n$% штук, так сказать, "линейно независимых" осей (называем их так, потому что в них лежат линейно-независимые — с точки зрения дикаря, - векторы). Это оси $% {e_1},{e_2},...,{e_n},i{e_1},i{e_2},...,i{e_n}$% (мы даем одно и то же обозначение и для векторов $%{e_1},{e_2},...,{e_n},i{e_1},i{e_2},...,i{e_n}$% , и для осей, в которых они лежат).

(Повторимся: то, что у половины этих осей в обозначении стоит буква $%i$%, не должно сбивать нас с толку, это вовсе не значит, что они имеют в себе что-то "комплексное". Это просто обозначение, которое в дальнейшем окажется удобным.)

Если решаем умножать векторы этого пространства на вещественные числа, то объявляем его вещественным, и тогда все эти $%2n$% штук осей будут у нас базисными, потому что базис состоит из $%2n$% векторов, а именно, из векторов $%{e_1},{e_2},...,{e_n},i{e_1},i{e_2},...,i{e_n}$%.

То есть размерность пространства $%L$% будет $%2n$%.

При этом все оси $%{e_1},{e_2},...,{e_n},i{e_1},i{e_2},...,i{e_n}$% останутся "линейно независимыми".

Если же решаем умножать векторы этого пространства на комплексные числа, то объявляем его комплексным, и тогда базисными у нас будут только $%n$% векторов (и, соответственно, $%n$% осей), а именно, $%{e_1},{e_2},...,{e_n}$%, потому что базис теперь состоит из $%n$% векторов — больше нам не надо, так как комплексными числами можно перевести базисный вектор* в любой вектор плоскости (как ее понимает дикарь), в которой он (этот базисный вектор) действует и которую поэтому можно назвать базисной плоскостью (подобно базисной оси).

(*Если смотреть на него как на переменный вектор.)

(Кстати, выйти за пределы своей базисной плоскости базисный вектор — при умножении его на комплексное число, - не может, так же, как он — или какой-либо другой вектор из векторов $% {e_1},{e_2},...,{e_n},i{e_1},i{e_2},...,i{e_n}$%, - не смог бы выйти за пределы своей базисной оси - то есть оси, в которой он действовал бы, - если бы мы решили умножать в пространстве $%L$% векторы не на комплексные, а на вещественные числа.)

7.

Еще один взгляд (в соответствии с излагаемой концепцией).

Будем считать, что операция умножения вектора на вещественное число состоит в его растяжении (сжатии), а операция умножения вектора на комплексное число состоит в его растяжении (сжатии) плюс поворот.

В таком случае операция умножения вектора на комплексное число подразделяется на две подоперации: растяжение (сжатие) и поворот.

Возьмем вещественное пространство и добавим к нему операцию умножения на комплексные числа. В таком случае мы добавляем к нему только поворот, потому что растяжение (сжатие) уже было.

(*Из комплексных чисел можно было бы при этом исключить вещественные числа, впрочем, если этого и не сделать, то, добавив к множеству вещественных чисел все комплексные, мы все равно добавим к ним только те комплексные, из которых исключены вещественные, потому что вещественные в этом множестве уже были.)

Вещественное пространство с добавленной к нему операцией поворота есть комплексное пространство.

Однако можно сказать, что вещественное пространство с добавленной к нему операцией умножения на комплексные числа есть комплексное пространство.

При этом векторы пространства остаются теми же, добавляются только числа, на которые они могут умножаться.

Добавляя к вещественному (четномерному!) пространству операцию умножения на комплексные числа, мы осуществляем его комплексификацию.

Убирая из комплексного пространства операцию умножения на комплексные числа*, мы осуществляем его овеществление.

[*По нашему определению комплексное пространство имеет две операции умножения на числа (хотя они и пересекаются): операцию умножения вектора на вещественное число и операцию умножения вектора на комплексное число. Поэтому, если мы уберем из комплексного пространства операцию умножения на комплексное число, в нем, тем не менее, останется операция умножения вектора на вещественное число.]

8.

Посмотрим на формулу $%x=\alpha_1y_1+ \alpha_2y_2+ ... +\alpha_sy_s=p_1+p_2+ ... +p_s$%, где $%x, y_i, p_i$% векторы, $%\alpha_i$%числа ($%i=\overline {1,s} $%).

Мы видим, что каждый член линейной комбинации представляет собой вектор $%p_i$%, и эти $%p_i$% складываются.

Если бы у нас уже были эти векторы $%p_i$%, то нам не надо было бы их предварительно находить, умножая вектор $%y_i$% на число $%\alpha_i$% (то есть преобразуя векторы $%y_i$% при помощи линейных операторов-чисел) мы бы просто сложили векторы $%p_i$%.

То есть числа нам были бы не нужны.

Если бы мы могли составить (полную ??) таблицу всех векторов пространства, то числа нам вообще были бы не нужны, потому что мы бы просто складывали нужные векторы, взятые из этой таблицы.

Или если бы мы могли просто брать векторы из пространства,

но тогда нам надо было бы знать каждый вектор в лицо, чтобы взять именно тот, какой надо.

При этом, поскольку координат у них нет, мы говорили бы:

«Вот этот,» - или: «Вон тот,» -

или же должны были бы придумать каждому из них уникальное имя.

Числа нужны только для того, чтобы преобразовывать векторы* перед тем, как их складывать.

(*Условно говоря, см сноску к п.4 ?)

Таким образом, можно было бы работать с пространством, состоящим из векторов, без операции умножения их на числа, то есть просто с аддитивной группой (???????????), которую представляют собой его векторы.

Однако мы не можем составить таблицу, состоящую из бесконечного числа элементов.

Поэтому мы используем базисы, состоящие из конечного числа векторов и операцию умножения векторов на числа, что дает нам возможность находить любые векторы пространства (при помощи линейных комбинаций), которые мы затем можем складывать по нашему усмотрению.

То есть пространству — самому по себе, - числа не нужны, они нужны нам, чтобы из бесконечного числа векторов выбирать те, которые мы предпочитаем.

В пространстве самом по себе (то есть без умножения на числа) имеются принципы взаимоотношений между векторами: кроме суммы векторов это их линейная зависимость (независимость) и размерность (которая связана с зависимостью-независимостью).

Что касается суммы векторов, то это аксиоматично (?????????).

Что касается размерности, то давайте рассмотрим неколлинеарные отрезки на плоскости.

Каким-то образом мы видим, что они неколлинеарны, то есть что они принадлежат разным подпространствам этой плоскости.

И они пока что еще на умножены на числа.

(Если о векторе не сказано, что он умножен на число, можно, тем не менее, утверждать, что он умножен на единицу, однако это в том случае, если введена операция умножения на числа.

Мы же ее пока не ввели, то есть мы не предполагаем, что эти отрезки могут умножаться на числа.)

То есть, по крайней мере, интуитивно мы видим, что бывает пространство, которое состоит из векторов, и при этом не предполагается операция умножения на числа.

Кроме того, прибегнем к авторитетам.

«Размерность представляет собой максимальное число линейно независимых элементов пространства, то есть, прибегая к грубой геометрической интерпретации, число направлений, невыразимых друг через друга посредством только операций сложения и умножения на скаляр». (Википедия,

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE )

То есть эти направления существуют независимо от чисел.

Назовем число этих направлений фактической размерностью пространства.

Возьмем линейное пространство и отнимем от него умножение на числа. Обозначим то, то, что осталось $%\boxed L$%.

При этом мы практически отнимаем у него также базисы, потому что достаточно эффективная работа базиса невозможна без умножения его векторов на числа.

При помощи базисных векторов, которые не могут умножаться на числа, можно получить только те векторы, которые являются их суммой, при том, что каждый базисный вектор может выступать слагаемым произвольное число раз.

Это будет много векторов, но не все векторы пространства, например, в двухмерном (вещественном) пространстве это будут только векторы первой четверти координатной плоскости, и то не все.

Так что будем считать, у $%\boxed L$% нет базисов.

В соответствии с тем, что сказано в Википедии, линейное пространство может существовать без операции умножения на числа.

(Числа нужны не ему, а нам).

То есть здесь имеется в виду та таблица, которую невозможно составить, элементы которой представляют собой все векторы пространства.

Выходит, что нам надо к понятию линейного пространства добавить еще одну «ипостась».

Итак,

$%L$% это линейное пространство вообще, в его понятии предполагается операция умножения на числа, однако не указывается, какие это числа — вещественные или комплексные;

$%\boxed L$% это $%L$% с удаленной операцией умножения на числа;

$%L^R$% это $%\boxed L$% с добавленной операцией умножения на вещественные числа (или $%L$% с указанием, что умножение совершается на вещественные числа);

$%L^C$% это $%\boxed L$% с добавленной операцией умножения на вещественные числа (или $%L$% с указанием, что умножение совершается на комплексные числа).

В предлагаемой здесь системе фактическая размерность $%L$%, $%\boxed L$%, $%L^R$% и $%L^C$% равна $%2n$%.

Назовем число векторов в базисе базисной размерностью пространства.

Базисная размерность $%L^R$% есть $%2n$%, базисная размерность $%L^C$% есть $%n$%, базисная размерность $%L$% не определена (потому что базис $%L$% не определен — в том смысле, что мы еще не решили, какой взять базис, вещественный или комплексный), в $%\boxed L$% базисная размерность не определена (потому что базиса просто нет - мы решили его не брать).

[В предлагаемой здесь системе $%L^R$% и $%L^C$% по составу всех своих векторов представляют собой одно и то же.

Однако по составу базисных векторов они отличаются: $%L^R$% имеет $%2n$% базисных векторов, $%L^C$% -- только $%n$%.

Таким образом, если считать размерностью пространства число векторов в его базисе (в любом), то вещественная размерность пространства $%L$% есть $%2n$%, его комплексная размерность есть $%n$%.]

9.

Что касается общепринятой системы, то в ней нет единой фактической размерности.

При овеществлении (так же, как и в предпогаемой системе) для $%L$%, $%\boxed L$%, $%L^R$% и $%L^C$% она равна $%2n$%,

а при комплексификации она различна для исходного вещественного пространства $%L^R$% и для комплексного пространства $%L^C$%, к которому мы приходим: для $%L^R$% она равна $%n$%, а для $%L^C$% она равна $%2n$%.

Единой базисной размерности в общепринятой системе также нет, она зависит от того, совершается ли комплексификация или овеществление.

При комплексификации и для $%L^R$%, и для $%L^C$% она равна $%n$%,

а при овеществлении для для $%L^С$% она равна $%n$%, а для $%L^R$% она равна $%2n$%.

10.

Модуль каждого вектора в евклидовом линейном пространстве есть инвариант, он не зависит от базиса.

Он не зависит также и от «ипостаси» пространства $%L$%: и у $%L$%, и у $%L^R$%, и у $%L^C$%, и у $%\boxed L$% он один и тот же.

($%\boxed L$% это то, что остается когда у линейного пространства и отнимают умножение на числа.)

[Другое дело, что в общепринятой системе при комплексификации к исходному вещественному пространству добавляется еще целое пространство векторов — еще одно одно такое же пространство (то есть берется внешняя прямая сумма $%L \oplus L$%).

То есть о том, зависит модуль вектора от чего-то или не зависит, можно говорить, когда он уже есть, а если его нет (если он еще не появился в результате комплексификации), то и говорить не о чем.]

Вектор $%x$%, независимо от того, в какой «ипостаси» пребывает пространство $%L$% - в вещественной, комплексной или вовсе без умножения на числа, - равен сумме своих составляющих $%a_k$%, каждая из которых находится в одной из базисных плоскостей.

(В $%\boxed L$% нет базиса, но есть те же оси и плоскости, которые в $%L^R$% и в $%L^C$% называются базисными.)

Эти составляющие $%a_k$% суть векторы, и они такие, какие они есть, независимо от «ипостаси» пространства (так же, как и все векторы).

Если векторы находятся в разных базисных плоскостях, они линейно независимы (так же, как если бы они находились в разных базисных осях).

опубликован 3 Май '19 15:46

изменен вчера

10|600 символов нужно символов осталось
Есть вопрос на тему исследования? Задайте вопрос.
Скрыть

пожалуйста, введите содержательный заголовок для вашего вопроса


Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

Метки исследования:

×3,650

опубликовано
3 Май '19 15:46

просмотрено
630 раз

обновлено
вчера

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru