Это проба пера - я тренируюсь выкладывать формулы.

$$\Delta =\begin{vmatrix} A&B \\ C&D \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A&B\\ {C + \left( { - C{A^{ - 1}}} \right)A}&{D + \left( { - C{A^{ - 1}}} \right)B} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A&B\\ 0&{D - C{A^{ - 1}}B} \end{vmatrix} = \left| A \right|\left| {D - C{A^{ - 1}}B} \right| $$

$$D =\begin{vmatrix} {x + 1}&x&x&{...}&x\\ x&{x + a}&x&{...}&x\\ x&x&{x + {a^2}}&{...}&x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x&x&x&{...}&{x + {a^n}} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x&x&x&{...}&x\\ x&{x + a}&x&{...}&x\\ x&x&{x + {a^2}}&{...}&x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x&x&x&{...}&{x + {a^n}} \end{vmatrix} + $$

$$ = \begin{vmatrix} 1&0&0&{...}&x\\ 0&a&0&{...}&x\\ 0&0&{{a^2}}&{...}&x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0&0&0&{...}&{\left( {x + {a^n}} \right) + x{a^n} + x{a^{n - 1}} + x{a^{n - 2}} + ... + xa} \end{vmatrix} = $$

$$d = \begin{vmatrix} 1&1&1&{...}&1\\ {{a_1}}&{{a_2}}&{{a_3}}&{...}&{{a_n}}\\ {a_1^2}&{a_2^2}&{a_3^2}&{...}&{a_n^2}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {a_1^{n - 1}}&{a_2^{n - 1}}&{a_3^{n - 1}}&{...}&{a_n^{n - 1}} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1&1&1&{...}&1\\ 0&{{a_2} - {a_1}}&{{a_3} - {a_1}}&{...}&{{a_n} - {a_1}}\\ 0&{a_2^2 - {a_1}{a_2}}&{a_3^2 - {a_1}{a_3}}&{...}&{a_n^2 - {a_1}{a_n}}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0&{a_2^{n - 1} - {a_1}a_2^{n - 2}}&{a_3^{n - 1} - {a_1}a_3^{n - 2}}&{...}&{a_n^{n - 1} - {a_1}a_n^{n - 2}} \end{vmatrix} = $$

$$\ \begin{pmatrix} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {{b_{11}}}\\ {{b_{21}}}\\ {...}\\ {{b_{n1}}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {{a_{11}}{b_{11}}}\\ + \\ {{a_{12}}{b_{21}}}\\ + \\ {...}\\ + \\ {{a_{1n}}{b_{n1}}} \end{pmatrix} = {c_{11}}.$$

$$\,\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\,\,\,\,\,{a_{11}}{b_{11}} + }\\ { + \,\,\,{a_{12}}{b_{21}} + }\\ {\,\, + \,\,\,\,\,\,\,...\,\,\,\,\,\,\, + }\\ { + \,\,\,\,\,{a_{1n}}{b_{n1}}} \end{array}} \right),$$

$$\left( {\,\begin{array}{*{20}{c}} {}&{{a_{11}}{b_{11}}}\\ + &{}\\ {}&{{a_{12}}{b_{21}}}\\ + &{}\\ {}&{...}\\ + &{}\\ {}&{{a_{1n}}{b_{n1}}} \end{array}} \right)$$

$$\,\,\left( {\,\begin{array}{*{20}{c}} {}&{{a_{11}}{b_{11}}}\\ + &{}\\ {}&{{a_{12}}{b_{21}}}\\ + &{}\\ {}&{...}\\ + &{}\\ {}&{{a_{1n}}{b_{n1}}} \end{array}} \right){\rm{,}}\,\,$$

$$Z = \begin{pmatrix}{l} \begin{pmatrix} {{z_{11}}}&{{z_{12}}}&{\,.\,..}&{\,{z_{1k}}\,\,\,\,\,\,\,}&{\,\,\,\,\,\,\,...}&{{z_{1n}}}\\ {{z_{21}}}&{{z_{22}}}&{\,...}&{\,{z_{2k}}\,\,\,\,\,\,}&{\,\,\,\,\,\,\,...}&{{z_{2n}}} \end{pmatrix}\\ ...................................................................\\ \begin{pmatrix} {{z_{j1}}}&{\,{z_{j2}}}&{\,...}&{{z_{jk}}}&{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,...}&{\,{z_{jn}}} \end{pmatrix}\\ ...................................................................\\ \begin{pmatrix} {{z_{n1}}}&{\,{z_{n2}}}&{\,\,...}&{{z_{nk}}\,\,\,\,\,\,\,}&{\,\,\,\,\,\,...}&{{z_{nn}}} \end{pmatrix} \end{pmatrix} ,$$

$$ = \,\,\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_{i1}}}&{\,\,\,{c_{i2}}}&{\,\,...}&{\,\,{c_{ik}}}&{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,...}&{\,{c_{in}}} \end{array}} \right).\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$$

$$Z = ({z_{\alpha l}}) = EijC = ({e_{\alpha \beta }})({c_{k = \beta ,\,\,l}}) = ({e_{\alpha \beta }})({c_{\beta l}}).\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Z = ({z_{\alpha l}}) = EijC = ({e_{\alpha \beta }})({c_{\beta l}}) = $$

$$ = \left( {{a_2} - {a_1}} \right)\left( {{a_3} - {a_1}} \right)...\left( {{a_n} - {a_1}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{}&{}\\ {}&1&1&{...}&1\\ {}&{{a_2}}&{{a_3}}&{...}&{{a_n}}\\ {}& \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {}&{a_2^{n - 2}}&{a_3^{n - 2}}&{...}&{a_n^{n - 2}} \end{array}} \right| = $$

$$ \begin{bmatrix} \,\,\,\,\,\ {{a_{11}}{a_{12}}...{a_{1m}}} \\ \\ \,\,\,\,\,\,\ {{a_{21}}{a_{22}}...{a_{2m}}} \\ \\ \,\,\,\,\,\,...............................\\ \\ \,\,\,\,\,\, {{a_{n1}}{a_{n2}}...{a_{nm}}} \end{bmatrix} .$$

$%\[\begin{array}{*{20}{c}} {A\left( {x;y} \right) = {a_{11}}{\xi 1}{\eta _1} + {a{12}}{\xi 1}{\eta _2} + ... + {a{1n}}{\xi 1}{\eta _n} + }\\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + {a{21}}{\xi 2}{\eta _1} + {a{22}}{\xi 2}{\eta _2} + ... + {a{2n}}{\xi 2}{\eta _n} + }\\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,.................................................}\\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + {a{n1}}{\xi n}{\eta _1} + {a{n2}}{\xi n}{\eta _2} + ... + {a{nn}}{\xi _n}{\eta _n},} \end{array}\]$%

$%\begin{vmatrix} {A {x;y} = {a_{11}}{\xi 1}{\eta _1} + {a{12}}{\xi 1}{\eta _2} + ... + {a{1n}}{\xi 1}{\eta _n} + }\\ { + {a{21}}{\xi 2}{\eta _1} + {a{22}}{\xi 2}{\eta _2} + ... + {a{2n}}{\xi 2}{\eta _n} + }\\ {................................}\\ { + {a{n1}}{\xi n}{\eta _1} + {a{n2}}{\xi n}{\eta _2} + ... + {a{nn}}{\xi _n}{\eta _n},} \end{vmatrix}$%

$%\[\begin{array}{*{20}{c}} {A\left( {x;y} \right) = {a_{11}}{\xi 1}{\eta _1} + {a{12}}{\xi 1}{\eta _2} + ... + {a{1n}}{\xi 1}{\eta _n} + }\\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + {a{21}}{\xi 2}{\eta _1} + {a{22}}{\xi 2}{\eta _2} + ... + {a{2n}}{\xi 2}{\eta _n} + }\\ {.............................}\\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + {a{n1}}{\xi n}{\eta _1} + {a{n2}}{\xi n}{\eta _2} + ... + {a{nn}}{\xi _n}{\eta _n},} \end{array}\]$%

$$ \begin{vmatrix} {A\ {x;y} = {a_{11}}{\xi 1}{\eta _1} + {a{12}}{\xi 1}{\eta _2} + ... + {a{1n}}{\xi 1}{\eta _n} + }\\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + {a{21}}{\xi 2}{\eta _1} + {a{22}}{\xi 2}{\eta _2} + ... + {a{2n}}{\xi 2}{\eta _n} + }\\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,.................................................}\\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + {a{n1}}{\xi n}{\eta _1} + {a{n2}}{\xi n}{\eta _2} + ... + {a{nn}}{\xi _n}{\eta _n},} \end{vmatrix} $$

$%\begin{matrix} {a_{11}}{\eta 1}} {a{12}}{\eta 2}} {{a{1n}}{\eta n}} \\ {{a{21}}{\eta 1}} {{a{22}}{\eta 2}} {{a{2n}}{\eta n}} \\ {......................................}\\ {{a{n1}}{\eta 1}} {{a{n2}}{\eta 2}} {{a{nn}}{\eta _n}} \end{matrix} $%

$$\begin{matrix} {x + 1}&x&x&{...}&x\\ x&{x + a}&x&{...}&x\\ x&x&{x + {a^2}}&{...}&x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x&x&x&{...}&{x + {a^n}} \end{matrix}$$

$$\begin{matrix} x&x&x&{...}&x\\ x&{x + a}&x&{...}&x\\ x&x&{x + {a^2}}&{...}&x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x&x&x&{...}&{x + {a^n}} \end{matrix} + $$

$$\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}$$

$$\Delta =\begin{vmatrix} A&B \\ C&D \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A&B \\ {C + \left( { - C{A^{ - 1}}} \right)A}&{D + \left( { - C{A^{ - 1}}} \right)B} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A&B \\ 0&{D - C{A^{ - 1}}B} \end{vmatrix} = \left| A \right|\cdot\left| {D - C{A^{ - 1}}B} \right| \quad (I) $$

$$\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {{b_{11}} + {b_{12}} + ... + {b_{1n}}} \right){\xi 1} + }\\ { + \left( {{b{21}} + {b_{22}} + ... + {b_{2n}}} \right){\xi 2} + }\\ {....................................}\\ { + \left( {{b{n1}} + {b_{n2}} + ... + {b_{nn}}} \right){\xi _n} = } \end{array}$$

$$\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {{b_{11}} + {b_{12}} + ... + {b_{1n}}} \right){\xi 1} + }\\ { + \left( {{b{21}} + {b_{22}} + ... + {b_{2n}}} \right){\xi 2} + }\\ {....................................}\\ { + \left( {{b{n1}} + {b_{n2}} + ... + {b_{nn}}} \right){\xi _n} = } \end{array}$$

$$\Delta =\begin{vmatrix} A&B \\ C&D \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A&B \\ {C + \left( { - C{A^{ - 1}}} \right)A}&{D + \left( { - C{A^{ - 1}}} \right)B} \end{vmatrix} =$$

$$ = \begin{vmatrix} A&B \\ 0&{D - C{A^{ - 1}}B} \end{vmatrix} = \left| A \right|\cdot\left| {D - C{A^{ - 1}}B} \right| \quad (I) $$

где $%x$% есть вектор $% \left( {\{array}{{20}{c}} {{\xi_1},}&{{\xi_2},}&{...,}&{{\xi_n}} \end{array}} \right)$%, а $%y$% - вектор $%\left| {\begin{array}{{20}{c}} {{\eta_1},}&{{\eta_2},}&{...,}&{{\eta_n}} \end{array}} \right|$%.

Я думаю, я понял, в чем дело.

Там написано:

$$ {A_{ij}} = ({a_1} - x) \cdot \ldots \cdot ({a_{i - 1}} - x) \cdot ({a_{i + 1}} - x) \cdot \ldots \cdot ({a_n} - x) $$

а должно быть:

$$ {A_{ij}}= ({a_1} - x) \cdot \ldots \cdot ({a_{k - 1}} - x) \cdot ({a_{k + 1}} - x) \cdot \ldots \cdot ({a_n} - x) $$

и тогда

$${D_n} = \prod\limits_{i = 1}^n {({a_i} - x)} + x \cdot \sum\limits_{k = 1}^n {\prod\limits_{i = 1,\,\,i \ne k}^n {({a_i} - x)} } .$$

$$det\,\,A = \begin{vmatrix} {{b_{11}}}&{{b_{12}}}&{{b_{13}}}&{...}&{{b_{1n}}} \\ {{b_{21}}}&{{b_{22}}}&{{b_{23}}}&{...}&{{b_{2n}}} \\ {{b_{31}}}&{{b_{32}}}&{{b_{33}}}&{...}&{{b_{3n}}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {{b_{n1}}}&{{b_{n2}}}&{{b_{n3}}}&{...}&{{b_{nn}}} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} {{a_1} - x}&0&0&{...}&0 \\ 0&{{a_2} - x}&0&{...}&0 \\ 0&0&{{a_3} - x}&{...}&0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0&0&0&{...}&{{a_n} - x} \end{vmatrix} .$$

$$D =\begin{vmatrix} {x + 1}&x&x&{...}&x\\ x&{x + a}&x&{...}&x\\ x&x&{x + {a^2}}&{...}&x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x&x&x&{...}&{x + {a^n}} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x&x&x&{...}&x\\ x&{x + a}&x&{...}&x\\ x&x&{x + {a^2}}&{...}&x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x&x&x&{...}&{x + {a^n}} \end{vmatrix} + $$

где $%x$% есть вектор $% (\xi_1,\xi_2,...,\xi_n) $%, а $%y$% - вектор $% (\eta_1,\eta_2,...,\eta_n) $%.

последовательности пишут самым обычным образом, перечисляя элементы через запятую, безо всяких массивов. Выглядит это так: $%x$% есть вектор $%(\xi_1,\xi_2,...,\xi_n)$%, а $%y$% есть вектор $%(\eta_1,\eta_2,...,\eta_n)$%.

Зачем в алгебраических дополнениях элементов определителя $%\det A$% менять индексы при $%A$% с $%ij$% на $%kl$%, то есть брать не $%{A_{ij}}$%, а $%{A_{kl}}$%?

Дело в том, что в итоговой формуле

$${D_n} = \prod\limits_{i = 1}^n {({a_i} - x)} + x \cdot \sum\limits_{k = 1}^n {\prod\limits_{i = 1,\,\,i \ne k}^n {({a_i} - x)} } $$

суммирование совершается по $%k$%, а умножение по $%i$% (поскольку и то, и другое не может совершаться по одному и тому же индексу), и хотелось бы, чтобы не только в формуле, но и во всей задаче сохранялся тот же принцип.

Поэтому $%{D_n} = \det A + x \cdot \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {{A_{ij}}} } $% (выражение, стоящее в учебнике) я поменял на $%{D_n} = \det A + x \cdot \sum\limits_{k = 1}^n {\sum\limits_{l = 1}^n {{A_{kl}}} } $%.

Поскольку все не равные нулю алгебраические дополнения стоят на главной диагонали, то

$${D_n} = \det A + x \cdot \sum\limits_{k = 1}^n {\sum\limits_{l = 1}^n {{A_{kl}}} = } \det A + x \cdot \sum\limits_{k = 1}^n {{A_{kk}}} $$

и, соответственно,

$${A_{kk}} = ({a_1} - x) \cdot \ldots \cdot ({a_{k - 1}} - x) \cdot ({a_{k + 1}} - x) \cdot \ldots \cdot ({a_n} – x).$$

Здесь умножение совершается по $%i$%, которое не должно быть равно $%k$%.

Конечно, итоговая формула от произведенной смены индексов не поменялась, но, как мне кажется, выиграла стройность изложения.

Кроме того.

В данной задаче, вследствие диагонального положения ненулевых алгебраических дополнений, индексы элементов множества $%\{ {a_i}\} = \{ {a_1},\,\,{a_2}\,...,\,\,{a_n}\} $%, являющегося основой для построения выражений

$%({a_1} - x) \cdot ({a_2} - x) \cdot \ldots \cdot ({a_n} - x) = \prod\limits_{i = 1}^n {({a_i} - x)} $% (равному $%\det A$%) и

$%({a_1} - x) \cdot \ldots \cdot ({a_{k - 1}} - x) \cdot ({a_{k + 1}} - x) \cdot \ldots \cdot ({a_n} - x)$% (равному$%{A_{kk}}$%),

совпадают с индексами этих алгебраических дополнений, и поэтому их можно выразить одной и той же буквой, например, буквой $%i$%, что и сделано в учебнике.

Однако, если бы условие задачи было другим и не все ненулевые алгебраические дополнения$%{A_{kl}}$%
располагались на главой диагонали, сделать этого было бы нельзя.

Поэтому полагаю, что смена индексов элементов определителя $%\det A$% с $%ij$% на $%kl$% может здесь производиться также из соображений универсальности. Впрочем, для большей убедительности этого довода хорошо было бы подкрепить его соответствующей задачей, в которой бы не все не равные нулю алгебраические дополнения стояли на главной диагонали.

Добавлю еще, что в учебнике стоит:

$${A_{ij}} = ({a_1} - x) \cdot \ldots \cdot ({a_{i - 1}} - x) \cdot ({a_{i + 1}} - x) \cdot \ldots \cdot ({a_n} - x), - $$

но точнее было бы:

$${A_{ii}} = ({a_1} - x) \cdot \ldots \cdot ({a_{i - 1}} - x) \cdot ({a_{i + 1}} - x) \cdot \ldots \cdot ({a_n} - x), - $$

поскольку речь идет о диагональных алгебраических дополнениях.

У меня самого во втором комментарии к «Нет ли ошибки в учебнике?» (к самому первому варианту) такая же неточность, которую я исправил после подсказки

$$\sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}} = {2^n}$$

$$R^n$$

$${x^'}$$

$${x'}$$

$$ \to \left\{ {\begin{array}{{20}{c}} {8/3 + 4{x_2} + 6{x_3} + 1 + {x_2} = 0,} \\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 6{x_2} + 9{x_3} + {x_3} = 0,} \\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_5} + {x_5} = 0,} \end{array}} \right. \to $$

Промучившись полгода, вдруг обнаружил, что надо всего-навсего в каждом {*{20}{c}} стереть звездочку, и все прекрасно выкладывается!

Работал в основном с матрицами.

И еще: до и после $$ или $% надо убрать \ [

И еще одна частность: вместо тильды надо писать sim

Теперь пока что проблем с конвертированием из MathType в LaTex больше не имею.

опубликован 3 Май 15:46

изменен 23 Июл 22:17

10|600 символов нужно символов осталось
Есть вопрос на тему исследования? Задайте вопрос.
Скрыть

пожалуйста, введите содержательный заголовок для вашего вопроса


Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

Метки исследования:

×3,339

опубликовано
3 Май 15:46

просмотрено
161 раз

обновлено
23 Июл 22:17

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru