линейная-алгебра - Билинейные функции в вещественном пространстве

Билинейную форму можно получить, перемножив две линейные формы.

Пусть дано вещественное линейное пространство $%L^R$%с базисом $%\vec e_1, \vec e_2, \cdots, \vec e_n$%, а также векторы $%{\vec x, \vec y} \in L^R$% с координатами $%(\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n)$% и $%(\eta_1, \eta_2, ..., \eta_n)$% соответственно.

Положив $%a_i=f( \vec e_i), b_k=g( \vec e_k), \,\,\, i, k=\overline {1, n}$%, перемножим линейнные формы $%f(\vec x)$% и $%g(\vec y)$%:

$$\\$$

$$f(\vec x)g(\vec y)=(a_1\xi _1 + a_2\xi _2 + ... + a_n\xi _n)(b_1\eta _1 + b_2 \eta_2 + ... + b_n\eta_n)=$$

$$\\$$

$$\begin{matrix} =a_1\xi_1b_1\eta _1 + a_1\xi_1b_2 \eta_2 + ... + a_1\xi_1b_n\eta_n+\\ \\ +a_2\xi_2b_1\eta_1 + a_2\xi_2b_2 \eta_2 + ... + a_2\xi _2b_n\eta_n+\\ \\ .....................................\\ \\ +a_n\xi _nb_1\eta _1 + a_n\xi _nb_2 \eta_2 + ... + a_n\xi_nb_n\eta_n=\\ \end{matrix}$$

$$\\$$

$$\\$$

$$\begin{matrix} =a_1b_1\xi_1\eta_1 + a_1b_2\xi_1 \eta_2 + ... + a_1b_n\xi_1\eta_n+\\ \\ +a_2b_1\xi_2\eta_1 + a_2b_2\xi_2 \eta_2 + ... + a_2b_n\xi_2\eta_n+\\ \\ .....................................\\ \\ +a_nb_1\xi_n\eta_1 + a_nb_2\xi_n \eta_2 + ... + a_nb_n\xi_n\eta_n. \end{matrix}$$

$$\\$$

Положив $%a_ib_k=a_{ik}$%, получим $%f(\vec x)g(\vec y)=$%

$$\\$$

$$\begin{matrix} a_{11}\xi_1\eta_1 + a_{12}\xi_1 \eta_2 + ... + a_{1n}\xi_1\eta_n+\\ \\ +a_{21}\xi_2\eta_1 + a_{22}\xi_2 \eta_2 + ... + a_{2n}\xi_2\eta_n+\\ \\ .................................\\ \\ +a_{n 1}\xi_n\eta_1 + a_{n 2}\xi_n \eta_2 + ... + a_{nn}\xi_n\eta_n. \end{matrix}$$

$$\\$$

Если расположить эту сумму в виде матрицы - как она у нас и расположена, - можно представить ее как матрицу, все элементы которой складываются между собой. Такую матрицу можно назвать аддитивной матрицей и обозначить $%\textbf{A}^{ad}$%:

$$\\$$

$$\textbf {A}^{ad}={\begin{pmatrix} a_{11} \xi_1\eta_1& a_{12} \xi_1 \eta_2& \ldots& a_{1n} \xi_1\ eta_n\\ \\ a_{21} \xi_2 \eta_1& a_{22} \xi_2 \eta_2& \ldots& a_{2n} \xi_2 \eta_n\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{n 1} \xi_n \eta_1& a_{n 2} \xi_n \eta_2& \cdots& a_{nn} \xi_n \eta_n \end{pmatrix}}^{ad}= \sum\limits_{i,k = 1}^n a_{ik} \xi_i \eta_k=f(\vec x)g(\vec y)=A(\vec x; \vec y).$$

$$\\$$

Из нее можно выделить матрицу $%\textbf{A}=(a_{ik})$% билинейной формы $%A(\vec x;\vec y)$%

$$\\$$

$$\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{n 1}& a_{n 2}& \cdots& a_{nn} \end{pmatrix}$$

$$\\$$

Если умножить ее на координаты векторов $%\vec x, \vec y$% по правилу перемножения матриц (координаты $%\vec x$% слева, координаты $%\vec y$% справа), то получим аддитивную матрицу $%\textbf{A}^{ad}$%:

$$\\$$

$$(\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n)\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{n 1}& a_{n 2}& \cdots& a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \eta_1\\ \eta_2\\ \vdots\\ \eta_n \end{pmatrix}={\begin{pmatrix} a_{11}\xi_1\eta_1& a_{12}\xi_1 \eta_2& \ldots& a_{1n}\xi_1\eta_n\\ \\ a_{21}\xi_2\eta_1& a_{22}\xi_2 \eta_2& \ldots& a_{2n}\xi_2\eta_n\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{n 1}\xi_n\eta_1& a_{n 2}\xi_n \eta_2& \cdots& a_{nn}\xi_n\eta_n \end{pmatrix}}^{ad}.$$

$$\\$$

Поскольку $%a_{ik} =a_i b_k$%, матрица $%(a_{ik})$% может быть представлена как матрица $%(a_i b_k)$%, причем матрица $%(a_i b_k)$% получается в результате тензорного перемножения матриц линейных функций (линейных форм) $%f(\vec x)$% и $%g(\vec y)$%:

$$\\$$

$$ \begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_n \end{pmatrix} (b_1, b_2, ..., b_n)=\begin{pmatrix} a_1 b_1& a_1 b_2& \ldots& a_1 b_n\\ \\ a_2 b_1& a_2 b_2& \ldots& a_2 b_n\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_n b_1& a_n b_ 2& \cdots& a_n b_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{n 1}& a_{n 2}& \cdots& a_{nn} \end{pmatrix}.$$

$$\\$$

"Определение 4.2 Мы говорим, что $% A(x;y)$% есть билинейная функция (билинейная форма) от векторов $% x$% и $% y$%, если:

$%1 ^\circ$% при фиксированном $% y$% $% A(x;y)$% есть линейная функция от $% x$%,

$% 2^\circ$% при фиксированном $% x$% $% A(x;y)$% есть линейная функция от $% y$%." (Гельфанд. Лекции по линейной алгебре, гл.1, §4, п.2.)

Чтобы понять, что это значит - при фиксированном $%\vec y$%, - запишем билинейную функцию $%A(\vec x; \vec y)$% в виде произведения ее матрицы $%(a_{ik})$% на координаты векторов $%\vec x, \vec y$% по правилам перемножения матриц и при этом сначала умножим ее на координаты вектора $%\vec y$%:

$$\\$$

$$A(\vec x; \vec y)=(\xi_1, \xi_2, ..., \xi_n)\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{n 1}& a_{n 2}& \cdots& a_{nn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \eta_1 \\ \eta_2 \\ \vdots \\ \eta_n \end{pmatrix} =$$

$$= (\xi_1,\xi_2, ..., \xi_n)\begin{pmatrix} a^\prime_1 \\ a^\prime_2 \\ \vdots \\ a^\prime_n \end{pmatrix}=(a^\prime_1\xi_1, a^\prime_2\xi_2, ..., a^\prime_n\xi_n)=f^\prime(\vec x)$$

$$\\$$

где элементы (одномерной) матрицы $%(a^\prime_1, a^\prime_2, ..., a^\prime_n)^T$% фиксированы, поскольку фиксированы элементы матриц $%(\eta_1, \eta_2, ..., \eta_n)^T$% и $%(a_{ik})$%, и поэтому $%(a^\prime_1, a^\prime_2, ..., a^\prime_n)^T$% может выступать в роли матрицы линейной формы $%f^\prime(\vec x)$%.

Заметим, что в общем случае $%f^\prime(\vec x)\neq f(\vec x)$%.

Для фиксированного $%\vec x$% можно провести аналогичную операцию.