многочлены - Бином Ньютона

«Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

$%(a + b)^n = \sum\limits_{k = 0}^n \binom {n}{k} a^{n - k}b^k = \binom {n}{0}a^n + \binom {n}{1}a^{n - 1}b + ... + \binom {n}{k} a^{n - k}b^k + ... + \binom {n}{n}b^n$% (1)

где $%\binom {n}{k} = \frac {n!}{k!(n - k)!} = C_n^k$% - биномиальные коэффициенты, $%n$% неотрицательное целое число.» (Википедия)

Чтобы представить себе происхождение этой формулы, возьмем $%(a + b)^n$% в виде произведения скобок и снабдим каждое $%a$% соответствующим индексом, а $%b$% оставим без индекса:

$$(a + b)^n = (a_1 + b) (a_2 + b) \ldots (a_n + b),\,\,\,\,a = a_1 = a_2 = \ldots = a_n.$$

Теперь, когда мы, «пометили» величины $%a$%, относящиеся к разным скобкам, проследим, что с ними происходит в процессе разложения бинома*. Для этого на некоторое время остановимся на том этапе, когда скобки уже перемножены, а подобные члены еще не приведены.

Сделаем это сначала при $%n=3$%:

$$(a + b)^3 = (a_1 + b)(a_2 + b)(a_3 + b) = (a_1a_2 + a_1b + ba_2 + b^2) \cdot (a_3 + b) = $$

$$ = a_1a_2a_3 + a_1ba_3 + ba_2a_3 + b^2a_3 + a_1a_2b + a_1b^2 + ba_2b + b^3 = $$

$$ = a_1a_2a_3 + a_1a_3b + a_2a_3b + a_3b^2 + a_1a_2b + a_1b^2 + a_2b^2 + b^3 = $$

$$ = a_1a_2a_3 + \boxed{a_1a_2} \cdot b + \boxed{a_1a_3} \cdot b + \boxed{a_2a_3} \cdot b + a_1b^2 + a_2b^2 + a_3b^2 + b^3.$$

Мы получили разложение бинома неприведенного вида, то есть бинома с неприведенными подобными членами (хотя и перегруппированными по степеням $%b$% для лучшего обзора), для $%n=3$%.

В этом разложении при каждом $%b$% в первой степени имеется сомножитель, представляющий собой произведение элементов множества $% \{ a_1, a_2, a_3 \} $%.

Поскольку степень одночлена равна сумме показателей степеней сомножителей, которые его составляют, то число этих элементов равно двум, и эти два элемента выбираются из $% \{ a_1, a_2, a_3 \} $% всевозможными, то есть $%\binom {3}{2} = 3$%, способами.

При этом ни одно из выбранных сочетаний элементов множества $%\{ a_1, a_2, a_3 \}$% не повторяется, и ни в одном сочетании нет одинаковых элементов (см. далее о разложении бинома при произвольном $%n$%).

Поэтому в этом разложении $%b$% со своими коэффициентами встречается 3 раза.

Соответственно, $%b^2$% (с коэффициентами) встречается $%\binom {3}{1} = 3$% раза, $%b^3$% (с коэффициентом $%a^0 = 1$%) -- $%\binom {3}{0} = 1$% раз, $%b^0$% (с коэффициентом $%{a_1}{a_2}{a_3}$%) -- $%\binom {3}{3} = 1$% раз.

Представим (1) в более подробном виде, то есть выпишем еще и предпоследний член, а также все степени $%a$% и $%b$%:

$$(a + b)^n = \sum\limits_{k = 0}^n \binom {n}{k} a^{n - k}b^k = $$

$$ = \binom {n}{0}{a^n}{b^0} + \binom {n}{1}{a^{n - 1}}{b^1} + \ldots + \binom {n}{k}{a^{n - k}}{b^k} + ... + \binom {n}{n-1}{a^1}{b^{n - 1}} + \binom {n}{n}{a^0}{b^n}.$$

Мы видим, что степени $%b$% возрастают от $%0$% до $%n$% слева направо, а степени $%a$% возрастают от $%0$% до $%n$% справа налево.

Так что нумеровать члены бинома можно как слева направо, так и справа налево.

Заметим, что крайний член, с которого начинается отсчет в сторону возрастания, удобнее называть не первым, а нулевым, в том отношении, что тогда номер члена будет совпадать со степенью величины ($%a$% или $%b$%), относительно которой идет отсчет.

Мы будем нумеровать члены бинома слева направо - то есть вести отсчет относительно $%b$%, - и $%{a_1}{a_2}...{a_n}$% считать нулевым членом — на том основании, что сомножителем в нем является $%b$% в нулевой степени. $% \frac {n!}{k!(n - k)!} a^{n - k}b^k$% будем считать $%k$%-ым членом, поскольку $%b$%, относительно которого идет отсчет, имеет степень $%k$%, а $%\frac{n!}{k!(n - k)!} {a^k}b^{n - k}$% (который нам встретится позже) считать $%(n-k)$%-ым членом, поскольку степень $%b$% в нем равна $%(n-k)$%.

Теперь разложим бином при произвольном $%n$% - причем также остановимся на неприведенном виде его разложения:

$$(a + b)^n = (a_1 + b) (a_2 + b) \ldots (a_n + b) = $$

$$ = {a_1}{a_2}...{a_n} + ... + \boxed{{a_1}{a_2}...{a_k}} \cdot {b^{n - k}} + \boxed{{a_1}{a_2}...{a_{k - 1}}{a_{k + 1}}} \cdot {b^{n - k}} + ... +$$

$$ + \boxed{{a_{n - k + 1}}...{a_{n - 1}}{a_n}} \cdot {b^{n - k}} + ... + {b^n}. \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (2) $$

Поскольку после перемножения скобок степень каждого из полученных слагаемых равна сумме показателей степеней сомножителей, из которых оно состоит, то при произвольном $%k$% для получения произведений, являющихся в (2) множителями при $%b^{n - k}$%, из множества $% \{ a_1, a_2, \ldots, a_n \} $% берем всякий раз $%k$% элементов, и эти $%k$% элементов выбираем из $% \{a_1, a_2, \ldots, a_n \} $% всевозможными, то есть $%\binom {n}{k}= \frac {n!}{k!(n-k)!}$% способами.

Сначала берем элементы с первого по $%k$%-ый, затем, сохраняя все остальные, вместо $%k$%-го берем $%(k+1)$%-ый, затем, так же, сохраняя все остальные, вместо $%(k+1)$%-ого берем $%(k+2)$%-ый и так далее, пока не возьмем последнего, то есть $%n$%-ого элемента множества $%\{a_1, a_2, \ldots, a_n \}$%.

Затем повторяем операцию, исключив из $%\{a_1, a_2, \ldots, a_n \}$% второй элемент.

Исчерпав все возможности с участием первого элемента, исключаем его из $%\{a_1, a_2, \ldots, a_n \}$% и повторяем все сначала, начиная со второго элемента.

Действуем таким образом, пока не получим всех возможных сочетаний элементов множества $%\{a_1, a_2, \ldots, a_n \} $% по $%k$% элементов в каждом, при этом в самом конце берем последние $%k$% элементов множества $%\{a_1, a_2, \ldots, a_n \}$%.

(По этому же принципу у нас выбраны сочетания $%a_i $% в биноме при $%n$%=3.)

Таким образом, в качестве сомножителя при каждом $%b^{n - k}$% мы получаем произведение $%k$% элементов множества $%\{ a_1, a_2, \ldots, a_n \} $%, причем его элементы в одном и том же произведении не повторяются, и все эти произведения разные.

Это находится в соответствии с тем, что, во-первых, при перемножении скобок ни одно слагаемое ни одной из этих скобок не умножается само на себя, и поэтому элементы множества $%\{a_1, a_2, \ldots, a_n \}$% в одном и том же произведении не могут повторяться, а во-вторых, $%k$% элементов из $%\{a_1, a_2, \ldots, a_n \}$% для произведений, являющихся сомножителями при $%b^{n - k}$% выбираются $%\frac{n!}{k!(n - k)!}$% всевозможными способами, и, разумеется, способы эти разные.

В результате этой операции мы получим $%\frac{n!}{k!(n - k)!}$% сочетаний из $%n$% элементов множества $%\{a_1, a_2, \ldots, a_n \}$% по $%k$%.

(При этом в каждом сочетании элементы будут представлены в упорядоченном виде по своим индексам, то есть индекс первого элемента будет меньше индекса второго и так далее, несмотря на то, что в сочетании порядок элементов не имеет значения.

Однако заметим, что именно потому, что порядок не имеет значения, они могут быть упорядочены, что дает нам возможность записать это выражение в той форме, в какой оно записано. Если бы они не были упорядочены, это было бы затруднительно, если вообще возможно.

Хотя, разумеется, надо иметь в виду, что, как сказано, упорядоченность элементов в сочетании не предполагается - именно поэтому в знаменателе выражения $%\frac{n!}{k!(n - k)!}$% стоит $%k!$%).

Соответственно, $%b^{n - k}$% (со своими сомножителями) до приведения подобных членов встречается в разложении $%\frac{n!}{k!(n - k)!}$% раз, а после приведения умножается на сумму $%\frac{n!}{k!(n - k)!}$% всевозможных произведений $%k$% элементов из множества $% \{ a_1, a_2, \ldots, a_n\} $%:

$$(a + b)^n = $$

$$ = {a_1}{a_2}...{a_n} + ... + \boxed{{a_1}{a_2}...{a_k}} \cdot b^{n - k} + \boxed{{a_1}{a_2} \ldots a_{k - 1} a_{k + 1}} \cdot b^{n - k} + ... + \boxed {a_{n - k + 1} \ldots a_{n - 1} a_n} \cdot b^{n - k} +$$

$$+ \ldots + b^n = $$

$$ = [{a_1}{a_2}...{a_n} + ... + (\boxed{{a_1}{a_2}...{a_k}} + \boxed{{a_1}{a_2}...{a_{k - 1}}{a_{k + 1}}} + ... + \boxed{{a_{n - k + 1}}\ldots {a_{n - 1}}{a_n}}) \cdot b^{n - k} + ... + b^n].$$

А так как $%a = a_1 = a_2 = ... = a_n$%, то все эти произведения равны между собой, каждое такое произведение можно представить как $%k$%-ую степень $%a$%:

$$\boxed{{a_1}{a_2}...{a_k}} = \boxed{{a_1}{a_2} \ldots {a_{k - 1}}{a_{k + 1}}} = \ldots = \boxed{{a_{n - k + 1}}...{a_{n - 1}}{a_n}} = {a^k}, - $$

а их сумма (как сумма равных слагаемых в количестве $%\frac{n!}{k!(n - k)!}$% штук) составит $%\frac{n!}{k!(n - k)!} \cdot a^k$%.

То есть при произвольном $%k$% $%\frac{n!}{k!(n - k)!} \cdot {a^k}{b^{n - k}}$% есть $%(n-k)$%-ый член разложения приведенного бинома (член, который состоит из суммы всех слагаемых неприведенного бинома, содержащих $%b^{n - k}$%), и коэффициент при $%{a^k}{b^{n - k}}$% равен $%\frac{n!}{k!(n - k)!}$%.

Нулевой (потому что в нем $%b$% имеет нулевую степень) член $%{a_1}{a_2}...{a_n}$% также может быть представлен как степень $%a$%.

Таким образом,

$$(a + b)^n = a^n + ... + \frac{n!}{k!(n - k)!} \cdot {a^k}{b^{n - k}} + ... + b^n.$$ Теперь, исходя из того,что

$$\frac{n!}{k!(n - k)!} \cdot {a^k}{b^{n – k}}$$

это произвольный член приведенного бинома (произвольный, поскольку $%k$% бралось произвольное), представим эту формулу в более подробном виде.

Так как $%\frac {n!}{k!(n-k)!} \cdot {a^k}{b^{n - k}}$% это $%(n-k)$%-тый член приведенного бинома, а в нулевом члене $%b$% имеет нулевую степень, то в нулевом члене $%k=n$%.

Соответственно, в $%n$%-ом члене $%k=0$%.

Так что

$$(a + b)^n = {a^n} + ... + \frac{n!}{k!(n - k)!} \cdot {a^k}{b^{n - k}} + ... + b^n = $$

$$ = \frac{n!}{n!(n - n)!} \cdot {a^n}{b^{n - n}} + \frac{n!}{(n - 1)![n - (n - 1)]!} \cdot {a^{n - 1}}{b^{n - (n - 1)}} + ... + $$

$$ + \frac{n!}{k!(n - k)!} \cdot {a^k}{b^{n - k}} + ... + $$

$$ + \frac{n!}{1!(n - 1)!} \cdot {a^1}{b^{n - 1}} + \frac{n!}{0!(n - 0)!} \cdot {a^0}{b^{n - 0}} = $$

$$ = \binom {n}{n}{a^n}{b^0} + \binom {n}{n-1}{a^{n - 1}}{b^1} + \ldots + \binom {n}{k}{a^k}{b^{n - k}} + \ldots + \binom {n}{1}{a^1}{b^{n - 1}} + \binom {n}{0}{a^0}{b^n} = $$

$$ = \binom {n}{n}{a^n} + \binom {n}{n-1}a^{n - 1}b + ... + \binom {n}{k}{a^k}{b^{n - k}} + ... + \binom {n}{1}a{b^{n - 1}} + \binom {n}{0}b^n$$

Правда, у нас получилось не совсем то, что в (1), там:

$$(a + b)^n = \binom {n}{0}a^n + \binom {n}{1}a^{n - 1}b + ... + \binom {n}{k}a^{n - k}b^k + ... + \binom {n}{n}b^n, - $$

или, если выписать еще и предпоследний член, а также все степени $%a$% и $%b$%:

$$(a + b)^n = \binom {n}{0}{a^n}{b^0} + \binom {n}{1}a^{n - 1}b^1 + \ldots + \binom {n}{k}a^{n - k}b^k + \ldots + \binom {n}{n-1}{a^1}b^{n - 1} + \binom {n}{n}a^0{b^n}.$$

У нас:

$$(a + b)^n = \binom {n}{n}a^n{b^0} + \binom {n}{n-1}a^{n - 1}b^1 + \ldots + \binom {n}{k}a^k{b^{n - k}} + \ldots + \binom {n}{1}a^1{b^{n - 1}} + \binom {n}{0}a^0{b^n}.$$

Однако, если бы мы вели наши рассуждения не относительно $%a$%, а относительно $%b$%, и снабжали индексами не $%a$%, а $%b$%:

$$(a + b)^n = (a + b_1)(a + b_2) \ldots (a + b_n),\,\,\,\,b = b_1 = b_2 = \ldots = b_n, - $$

то считали бы $%k$% степенью $%b$%, и тогда у нас получилось бы:

$$(a + b)^n = a^n + \ldots + \frac{n!}{k!(n - k)!} \cdot a^{n - k}b^k + \ldots + b^n = $$

$$ = a^n{b^0} + \ldots + \frac{n!}{k!(n - k)!} \cdot a^{n - k}b^k + \ldots + a^0{b^n} = $$

$$ = \frac{n!}{0!(n - 0)!} \cdot a^{n - 0}b^0 + \frac{n!}{1!(n - 1)!} \cdot a^{n - 1}b^1 + \ldots + $$

$$ + \frac{n!}{k!(n - k)!} \cdot a^{n - k}b^k + ... + $$

$$ + \frac{n!}{(n - 1)![n - (n - 1)]!} \cdot a^{n - (n - 1)}b^{n - 1} + \frac{n!}{n!(n - n)!} \cdot a^{n - n}b^n = $$

$$ = \binom {n}{0}a^n{b^0} + \binom {n}{1}a^{n - 1}b^1 + \ldots + \binom {n}{k}a^{n - k}b^k + \ldots + \binom {n}{n-1}a^1{b^{n - 1}} + \binom {n}{n}a^0{b^n} = $$

$$ = \binom {n}{0}a^n + \binom {n}{1}a^{n - 1}b + \ldots + \binom {n}{k}a^{n - k}b^k + \ldots + \binom {n}{n-1}a{b^{n - 1}} + \binom {n}{n}b^n,$$

или, если не выписывать предпоследний член:

$$(a + b)^n = \binom {n}{0}a^n + \binom {n}{1}a^{n - 1}b + \ldots + \binom {n}{k}a^{n - k}b^k + \ldots + \binom {n}{n}b^n,$$

что совпадает с (1).

Или же пусть $%k$% будет по-прежнему степенью $%a$%, но, учитывая, что $%\binom {n}{k} = \binom {n}{n-k}$% - то есть что биномиальные коэффициенты симметричны, - мы можем переписать наше выражение:

$$(a + b)^n = \binom {n}{n}a^n + \binom {n}{n-1}a^{n - 1}b + \binom {n}{k}a^k{b^{n - k}} + \ldots + \binom {n}{1}ab^{n - 1} + \binom {n}{0}b^n, - $$

заменяя $%\binom {n}{k}$% на $%\binom {n}{n-k}$%.

Получим:

$$(a + b)^n = \binom {n}{0}a^n + \binom {n}{1}a^{n - 1}b + \ldots + \binom {n}{n-k}a^k{b^{n - k}} + \ldots + \binom {n}{n-1})ab^{n - 1} + \binom {n}{n}b^n.$$

Здесь в правой части равенства в выражениях, стоящих в скобках, внизу стоят уже степени $%b$%, и поскольку между $%\ldots$% и $%\ldots$% вместо члена, содержащего $%b^{n - k}$%, можно взять член, содержащий $%b^k$% - при этом вместо $%a^k$% станет $%a^{n - k}$%, и вместо $%\binom {n}{n-k}$% станет $%\binom {n}{k}$%, - мы получим:

$$(a + b)^n = \binom {n}{0}a^n + \binom {n}{1}a^{n - 1}b + \ldots + \binom {n}{n-k}a^k{b^{n - k}} + \ldots + \binom {n}{n-1}a{b^{n - 1}} + \binom {n}{n}b^n = $$

$$\binom {n}{0}a^n + \binom {n}{1}a^{n - 1}b + \ldots + \binom {n}{k}a^{n - k}b^k + \ldots + \binom {n}{n}b^n, - $$

что также совпадает с (1).