линейная-алгебра - Комплексное пространство. 1. Альтернативная комплексификация

1.

Возьмем $%2n$%-мерное вещественное евклидово пространство $%L$%, произвольный базис которого состоит из векторов $% {\textbf e_1},{\textbf e_2}, \ldots, {\textbf e_n},\,\,{\textbf e'_1},{\textbf e'_2}, \ldots, {\textbf e'_n}$%.

В пространстве $%L$% имеется $%n$% подпространств $%L_k$%, каждое из которых имеет базис, состоящий из двух векторов $%\textbf e_k, \textbf e'_k,\,\,\,\,k=\overline {1,n}$%.

Назовем подпространства $%L_k$% базисными плоскостями пространства $%L$%.

Возьмем вектор $%\textbf x \in L$%, $%\textbf x = {\xi_1}{\textbf e_1} + {\xi'_1}{\textbf e'_1} + {\xi_2}{\textbf e_2} + {\xi'_2}{\textbf e'_2} + \ldots + {\xi_n}{\textbf e_n} + {\xi'_n}{\textbf e'_n}$%,

где $%{\xi_1}, {\xi_2}, \ldots, {\xi_n}, \,\,{\xi'_1}, {\xi'_2}, \ldots, {\xi'_n}$% его координаты по базису $% {\textbf e_1}, {\textbf e_2}, \ldots, {\textbf e_n}, \,\,{\textbf e'_1}, {\textbf e'_2}, \ldots, {\textbf e'_n}$%.

Вектор $%\textbf x$% можно разложить в сумму $%n$% векторов $%\textbf a_k$%, каждый из которых принадлежит соответствующей базисной плоскости $%L_k$%: $%\textbf x = \sum\limits_{k = 1}^n {{\textbf a_k}} $%, - поскольку $%L$% является прямой суммой своих подпространств $%L_k:L=L_1\oplus...\oplus\ L_n$%.

Назовем векторы $%\textbf a_k$% составляющими вектора $%\textbf x$%.

Назовем аргументом вектора $%\textbf a \in {L_k}$% угол между $%\textbf a$% и базисным вектором $%\textbf e_k$%.

(Аргумент вектора $%\textbf a$%, так же, как и его модуль, можно найти, зная его вещественные координаты по базисным векторам $%\textbf e_k, \textbf e'_k$%).

Определим произведение вектора $%\textbf a$% на комплексное число $%z$% следующим образом.

Будем считать результатом перемножения $%\textbf a$% на $%z$% вектор $%\textbf b \in {L_k}$%, модуль которого равен произведению модулей $%\textbf a$% и $%z$%, а аргумент равен сумме их аргументов.

(Для этого пространство $%L$% должно быть евклидовым, то есть таким, в котором определены длины векторов и углы между ними).

Каждую составляющую $%\textbf a_k$% вектора $%\textbf x$% можно представить в виде произведения базисного вектора $%\textbf e_k$% и комплексного числа $%z_k:\textbf a_k =z_k \textbf e_k $%, причем аргумент вектора $%\textbf a_k$% равен аргументу комплексного числа $%z_k$% (если вектор $%\textbf e_k$% единичный, то и модуль $%\textbf a_k$% равен модулю $%z_k$%).

Таким образом, $%\textbf x=\textbf a_1+\textbf a_2+...+\textbf a_n=z_1\textbf e_1+z_2\textbf e_2+\cdots+z_n\textbf e_n$%, где $%z_1, z_2, \ldots, z_n$% комплексные числа.

(Пока что мы определили умножение вектора вещественного пространства на комплексное число только для вектора, находящегося в базисной плоскости, но при надлежащем выборе базиса любой вектор пространства может оказаться в базисной плоскости. К тому же немного ниже будет показано, как умножить произвольный вектор пространства - то есть не обязательно находящийся в базисной плоскости, - на комплексное число.)

Теперь, после введения операции умножения векторов на комплексные числа, назовем пространство $%L$% комплексным и обозначим его $%L^C$%.

[С момента определения аргумента и модуля составляющей $%a_k$% вектора $%x$% мы можем смотреть на них (на аргумент и модуль) как на ее комплексную координату (одна комплексная координата включает в себя и модуль, и аргумент) и на пространство $%L$% как на комплексное пространство $%L^C$%.]

Базисом пространства $%L^C$% являются векторы $%\textbf e_1, \textbf e_2, \ldots, \textbf e_n$%, то есть его базисная размерность равна $%n$%, при том, что осевая размерность (число осей, в которых находятся векторы $% {\textbf e_1},{\textbf e_2}, \ldots, {\textbf e_n}, \,\, {\textbf e'_1}, {\textbf e'_2}, \ldots, {\textbf e'_n}$%) равна $%2n$% .

При этом векторы $%{\textbf e'_1}, {\textbf e'_2}, \cdots, {\textbf e'_n}$% перестали быть базисными.

Таким образом, мы осуществили комплексификацию вещественного пространства $%L$%, правда, сделали это не так, как это обычно делается.

Для того, чтобы перейти от комплексных координат $%z_1, z_2, \ldots, z_n$% вектора $%\textbf x$% к его вещественным координатам $%{\xi_1},{\xi_2},\ldots, {\xi_n}, \,\, {\xi'_1}, {\xi'_2}, \ldots, {\xi'_n}$% надо перевести комплексные координаты каждой составляющей $%\textbf a_k$% в вещественные. Для этого достаточно вернуться к представлению, что каждый вектор $%\textbf a_k$% находится в вещественном двухмерном пространстве $%L_k$% (подпространстве вещественного пространства $%L$%) с базисными векторами $%\textbf e_k, \textbf e'_k$%: $%\textbf a_k=\xi_k\textbf e_k+ \xi'_k\textbf e'_k$%, - и, зная его модуль и аргумент (угол относительно вектора $%\textbf e_k$%), а также угол между векторами $%\textbf e_k, \textbf e'_k$% и их модули, найти его координаты $%\xi_k, \xi'_k$% по векторам $%\textbf e_k, \textbf e'_k$%.

При таком представлении у пространства $%L$% снова становится $%2n$% базисных векторов - это все векторы $% {\textbf e_1},{\textbf e_2}, \ldots, {\textbf e_n}, \,\, {\textbf e'_1}, {\textbf e'_2}, \ldots, {\textbf e'_n}$%, - то есть базисная размерность пространства $%L$% снова становится $%2n$%, - само оно снова становится вещественным, и его можно обозначить $%L^R$%, чтобы подчеркнуть, что его векторы умножаются на вещественные числа.

(Осевая и базисная размерность вещественного пространства равны.)

Таким образом, $%\textbf x=\textbf a_1+\textbf a_2+ \ldots+\textbf a_n= ({\xi_1}{\textbf e_1} + {\xi'_1}{\textbf e'_1}) + ({\xi_2}{\textbf e_2} + {\xi'_2}{\textbf e'_2}) + \ldots + ({\xi_n}{\textbf e_n} + {\xi'_n}{\textbf e'_n})$%,

где $%{\xi_1},{\xi_2}, \ldots, {\xi_n},\,\, {\xi'_1},{\xi'_2}, \ldots, {\xi'_n}$% вещественные координаты вектора $%\textbf x$%.

То есть мы произвели овеществление комплексного пространства $%L^C$%.

Чтобы умножить вектор $%\textbf x \in L$% на комплексное число $%z$% (так же, как и в случае умножения его на вещественное число), надо умножить на это число каждую из составляющих $%\textbf a_k$% вектора $%\textbf x$% и полученные произведения сложить:

$$z\textbf x=z(\textbf a_1+\textbf a_2+...+\textbf a_n)=z\textbf a_1+z\textbf a_2+...+z\textbf a_n=$$

$$=z(z_1\textbf e_1)+z(z_2\textbf e_2)+...+z(z_n\textbf e_n)=(zz_1)\textbf e_1+(zz_2)\textbf e_2+...+(zz_n)\textbf e_n$$

что равносильно (так же, как и при умножении вектора $%\textbf x$% на вещественное число) умножению на это число (на $%z$%) каждой координаты вектора $%\textbf x$%.

2.

Умножение вектора, лежащего в базисной плоскости $%L_k$%, на комплексное число можно определить в любой форме (не обязательно в геометрической, как мы это сделали).

Независимо от формы, на этот вектор следует смотреть как на комплексное число, которое умножается на другое комплексное число. На ось, в которой лежит базисный вектор $%\textbf e_k$%, следует смотреть как на вещественную ось плоскости комплексных чисел, при этом ось, в которой лежит базисный вектор $%\textbf e'_k$% пространства $%L$%, не обязана совпадать с мнимой осью.

3.

Назовем линейное пространство, в котором не определены длины векторов и углы между векторами, просто линейным пространством.

Пусть $%{\tilde L}$% просто линейное вещественное пространство размерности $%2n$%, $%L$% евклидово вещественное пространство той же размерности. Поставим во взаимно-однозначное соответствие каждому вектору $%\textbf b$% пространства $%L$% вектор $%\tilde {\textbf b}$% пространства $%{\tilde L}$%.

Пусть векторы $%\textbf x,\textbf y \in L$%, векторы $%\tilde {\textbf x}, \tilde {\textbf y} \in {\tilde L}$%.

Определим произведение вектора $%\tilde {\textbf x}$% на комплексное число z по формуле $%z\textbf x=\textbf y \Rightarrow z \tilde {\textbf x}=\tilde {\textbf y}$%.

Таким образом получаем комплексное просто линейное пространство $%{\tilde L}$%, в котором каждой паре "вектор, комплексное число" ставится в соответствие вектор того же пространства.

Если я ошибаюсь, пусть меня поправят.