линейная-алгебра - Комментарии к "Векторным уравнениям плоскости ..." Беклемишева

Комментируются фрагменты п.4 § 2 гл.II учебника Беклемишева «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры» "Векторные уравнения плоскости и прямой".

https://docviewer.yandex.ru/view/0/?page=52&*=7rTHp4kbg%2B7vq%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%3D%3D&lang=ru

В кавычках стоят выдержки из учебника.

"П р е д л о ж е н и е 5. Пусть $%x, y, z$% - компоненты вектора $%r$% в декартовой системе координат. Тогда скалярное произведение $%(r-r_0, n)$% при $%n \ne 0$% записывается линейным многочленом $%Ax+By+Cz+D \,\,\, (A^2+B^2+C^2 \ne 0)$%.

Обратно, для любого линейного многочлена найдутся такие векторы $%r_0$% и $%n \ne 0$%, что в заданной системе координат $%Ax+By+Cz+D=(r-r_0, n)$%.

Первая часть предложения очевидна: подставим разложение вектора $%r$% по базису в данное нам выражение

$$(xe_1+ye_2+ze_3-r_0, \,\,n),$$

раскроем скобки и получим многочлен $%Ax+By+Cz+D$%, в котором $%D=-(r_0, \,\, n)$% и

$$A=(e_1, \,\,n), \,\,B=(e_2, \,\,n), \,\,C=(e_3, \,\,n). \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(13)$$

$%A,B,C$% одновременно не равны нулю, так как ненулевой вектор $%n$% не может быть ортогонален всем базисным векторам."

Если бы вектор $%n$% был ортогонален всем базисным векторам $%(e_1,e_2,e_3)$%, он сам мог бы быть базисным вектором - четвертым базисным вектором, то есть пространство, в котором доказывается $%$% П р е д л о ж е н и е $%$% 5 $%$%, было бы не трехмерным, а четырехмерным.

"Для доказательства обратного утверждения найдем сначала вектор $%n$% из равенств (13), считая $%A,B$% и $%C$% заданными. Будем искать этот вектор в виде

$$n=\alpha [e_2, e_3]+\beta [e_3, e_1]+\gamma[e_1, e_2].$$

Умножив скалярно это равенство на $%e_1$%, получаем $%(e_1, \,\,n)=\alpha (e_1,e_2,e_3).$%"

(При умножении $%[e_3, e_1]$% и $%[e_1, e_2]$% на $%e_1$% получаются нули.)

"Отсюда ..."

... поскольку $%A=(e_1, \,\,n)$%

"... $%\alpha=A/(e_1,e_2,e_3)$%.

Аналогично находим $%\beta$% и $%\gamma$%."

При этом, когда ищем $%\beta$%, принимаем во внимание, что

"Для любых векторов $%a,b$% и $%c$% мы получаем, сравнивая ориентации троек векторов,

$$(a,b,c)=(c,a,b)=(b,c,a)..."$$

(Беклемишев «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры», стр.24-25)

так что $$(e_2, \,\,[e_3, e_1])=(e_2, e_3, e_1)=(e_1, e_2, e_3)$$

и

$$(e_2, \,\,n)=\beta (e_2, e_3, e_1)=\beta (e_1, e_2, e_3).$$

Поскольку $%B=(e_2, \,\,n), \,\,C=(e_3, \,\,n)$%, имеем $%\beta=B/(e_1,e_2,e_3),\,\,\gamma=C/(e_1,e_2,e_3)$%.

Подставим полученные значения $%\alpha, \beta, \gamma$% в

$$n=\alpha [e_2, e_3]+\beta [e_3, e_1]+\gamma[e_1, e_2],$$

получим

$$n=A \frac {[e_2, e_3]}{(e_1,e_2,e_3)}+B \frac {[e_3, e_1]}{(e_1,e_2,e_3)} +C \frac{[e_1, e_2]}{(e_1,e_2,e_3)}.$$

Так как $$\frac {[e_2, e_3]}{(e_1,e_2,e_3)}=e_1^\star, \,\,\, \frac {[e_3, e_1]}{(e_1,e_2,e_3)}=e_2^\star, \,\,\, \frac{[e_1, e_2]}{(e_1,e_2,e_3)}=e_3^\star,$$

где $%e_1^\star, e_2^\star, e_3^\star$% векторы базиса, взаимного с базисом $%e_1, e_2, e_3,$% (см. Беклемишев. «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры», стр.32), то

$$n=A e_1^\star+B e_2^\star +C e_3^\star.$$

Таким образом, мы искали вектор $%n$% в виде

$$\alpha [e_2, e_3]+\beta [e_3, e_1]+\gamma[e_1, e_2],$$

а нашли еще и в виде

$$A e_1^\star+B e_2^\star +C e_3^\star.$$

"Вектор $%n$% не нулевой, так как $%[e_2, e_3],[e_3, e_1]$% и $%[e_1, e_2]$% линейно независимы (предложение 7 § 3 гл.1), а $%\alpha, \beta$% и $%\gamma$% не равны нулю одновременно, так же как $%A,B$% и $%C$%."

Вектор $%n$% не нулевой также и потому, что $%e_1^\star, e_2^\star, e_3^\star$% линейно независимы и $%A,B,C$% не равны нулю одновременно.

Поскольку вектор $%n$% имеет по базису $%e_1^\star, e_2^\star, e_3^\star$% координаты $%A,B,C$%, а вектор $%r$% по базису $%e_1,e_2,e_3$% имеет координаты $%x,y,z$%, и при этом базисы $%e_1,e_2,e_3$% и $%e_1^\star, e_2^\star, e_3^\star$% взаимные, то

$$(r,\,\,n)=(xe_1+ye_2+ze_3, \,\,\, A e_1^\star+B e_2^\star +C e_3^\star)=xA+yB+zC.$$

(Таблица умножения векторов взаимных базисов представляет собой единичную матрицу, например, в данном случае

$$(e_1, e_1^\star)=\langle e_1, \,\frac {[e_2, e_3]}{(e_1,e_2,e_3)}\rangle=\frac {1}{(e_1,e_2,e_3)}(e_1, [e_2, e_3])=\frac {(e_1,e_2,e_3)}{(e_1,e_2,e_3)}=1,$$

а

$$(e_1, e_2^\star)=\langle e_1, \,\frac {[e_3, e_1]}{(e_1,e_2,e_3)}\rangle=\frac {1}{(e_1,e_2,e_3)}(e_1, [e_3, e_1])=\frac {0}{(e_1,e_2,e_3)}=0.)$$

"Итак,"

[учитывая, что

$$A=(e_1, \,\,n), \,\,B=(e_2, \,\,n), \,\,C=(e_3, \,\,n)]$$

"мы можем придать заданному многочлену..."

(то есть многочлену

$$Ax+By+Cz+D=xA+yB+zC+D)$$

"...вид

$$x(e_1,\,\,n)+y(e_2,\,\,n)+z(e_3,\,\,n)+D=(r,\,\,n)+D."$$

Далее,

"П р е д л о ж е н и е $%$% 6. Если система координат декартова прямоугольная, то вектор с компонентами $%A,B$% и $%C$% является нормальным вектором для плоскости $%Ax+By+Cz+D=0$%."

То есть, если система координат не прямоугольная, то вектор $%n$% не может иметь по базису $%e_1, e_2, e_3$% координаты $%A,B,C$%, эти координаты по базису $%e_1, e_2, e_3$% имеет какой-то другой вектор, но не $%n$%, об этом другом векторе у автора вообще не идет речь в доказательстве $%$% П р е д л о ж е н и й $%$% 5, 6.

Тем не менее рассматриваемая плоскость имеет выражение $%Ax+By+Cz+D=0$%, и $%A,B,C$% являются координатами нормального вектора $%n$%, но по базису $%e^\star_1, e^\star_2, e^\star_3$%:

"В случае общей декартовой системы координат"

(то есть необязательно прямоугольной)

$%"A,B,C$% - компоненты вектора $%n$% по базису $%e^\star_1, e^\star_2, e^\star_3$%, взаимному с $%e_1, e_2, e_3$%."

Правильно?