теория-чисел - Формулы решения Диофантовых уравнений.

Решение Диофантовых уравнений - это такое решение неопределённых алгебраических уравнений, чтоб решения определялись набором целых чисел.

Это наверное были самые первые уравнения которые человечество начало решать.

Довольно часто решения угадывались или же старались хитрость какую придумать.

На этом форуме и на других часто задают одни и те же вопросы. Пытаются решить одни и те же стандартные уравнения. Поэтому думаю, что те формулы которые буду рисовать - могут пригодится.

Эти формулы публиковались на некоторых форумах, но как правило вызывало только крайне отрицательную реакцию. Я думаю, что не бывает плохих формул или хороших. Формула или есть или её нет. Да и любой метод имеет право на существование. Кто знает? Может когда нибудь кому то пригодится. Всегда должен быть выбор.

Хочу сказать, что и про решения не линейных диофантовых уравнений то же буду рассказывать. Так, что если никто мешать не будет формул нарисую много. Вообще формулы как правило выглядят довольно громоздко - поэтому и не получалось их найти.

Все формулы выведены мною и ни где не публиковались(я имею ввиду в журналах) поэтому надеюсь если их кто перерисует - сделает упоминание откуда они взялись.

Тогда начну пожалуй с самого знаменитого уравнения.

Уравнение Лежандра.

$$aX^2+bXY+cY^2=jZ^2$$

Решения есть когда хоть один из корней целый $%\sqrt{j(a+b+c)}$% , $%\sqrt{b^2 + 4a(j-c)}$% , $%\sqrt{b^2+4c(j-a)}$%

Для первого корня решения можно записать так:

$$X=(2j(b+2c)^2-(b^2+4c(j-a))(j\pm\sqrt{j(a+b+c)}))s^2+2(b+2c)(\sqrt{j(a+b+c)}\mp{j})sp+(j\mp \sqrt{j(a+b+c)})p^2$$

$$Y=(2j(2j-b-2a)(b+2c)-(b^2+4c(j-a))(j\pm\sqrt{j(a+b+c)}))s^2+2((2j-2a-b)\sqrt{j(a+b+c)}\mp{j(b+2c)})sp+(j\mp\sqrt{j(a+b+c)})p^2$$

$$Z=(2j(b+2c)^2-(b^2+4c(j-a))(a+b+c\pm\sqrt{j(a+b+c)}))s^2+2(b+2c) ( \sqrt{j(a+b+c)} \mp{j})sp + ( a + b + c \mp \sqrt{j(a+b+c)})p^2 $$

Если же такой корень целый $%\sqrt{b^2+4c(j-a)}$% тогда решения имеют вид.

$$X=((2j-b-2c)(8ac+2b(2j-b))-(b^2+4a(j-c))(b+2c\mp\sqrt{b^2+4c(j-a)}))s^2+2(4ac+b(2j-b)\pm{(2j-b-2c)}\sqrt{b^2+4c(j-a)})sp+(b+2c\pm\sqrt{b^2+4c(j-a)})p^2$$

$$Y=((b+2a)(8ac+2b(2j-b))-(b^2+4a(j-c))(2j-b-2a\mp\sqrt{b^2+4c(j-a)}))s^2+2(4ac+b(2j-b)\pm{(b+2a)}\sqrt{b^2+4c(j-a)})sp+(2j-b-2a\pm\sqrt{b^2+4c(j-a)})p^2$$

$$Z=((b+2a)(8ac+2b(2j-b))-(b^2+4a(j-c))(b+2c\mp\sqrt{b^2+4c(j-a)}))s^2+2(4ac+b(2j-b)\pm {(b+2a)}\sqrt{b^2+4c(j-a)})sp+(b+2c\pm\sqrt{b^2+4c(j-a)})p^2$$

Если же такой корень целый $%\sqrt{b^2+4a(j-c)}$% Тогда решения имеют вид:

$$X=(2j^2(b+2a)-j(a+b+c)(2j-2c-b\pm\sqrt{b^2+4a(j-c)}))p^2+2j(\sqrt{b^2+4a(j-c)}\mp{(b+2a)})ps+(2j-2c-b\mp\sqrt{b^2+4a(j-c)})s^2$$

$$Y=(2j^2(b+2a)-j(a+b+c)(b+2a\pm\sqrt{b^2+4a(j-c)}))p^2+2j(\sqrt{b^2+4a(j-c)}\mp{(b+2a)})ps+(b+2a\mp\sqrt{b^2+4a(j-c)})s^2$$

$$Z=j(a+b+c)(b+2a\mp\sqrt{b^2+4a(j-c)})p^2+2((a+b+c)\sqrt{b^2+4a(j-c)}\mp{j(b+2a)})ps+ (b+2a\mp\sqrt{b^2+4a(j-c)})s^2$$

Когда же ни один корень не становится целым. Чтоб выяснить могут быть ли решения достаточно рассмотреть какую нибудь эквивалентную квадратичную форму. Для этого достаточно сделать такую замену. $%X\longrightarrow{X+kY}$% или же такую $%Y\longrightarrow{Y+kX}$% Обычно всё сводится к довольно простому уравнению Пелля или же представления числа суммой квадратов. Там как раз и получается так, что бывает видно решения при каких то коэффициентах никогда быть не могут.

Конечно стал вопрос, что будет с этим уравнением: $$aX^2+bY^2+cZ^2=qXY+dXZ+tYZ$$ $%a,b,c,q,d,t$% - коэффициенты задаваемые условием задачи. Формула чтоб выглядела проще сделаем такую замену..

$$k=(q+t)^2-4b(a+c-d)$$ $$j=(d+t)^2-4c(a+b-q)$$ $$n=t(2a-t-d-q)+(2b-q)(2c-d)$$

Если корень из числа целый можно написать решение:

$$X=(2n(2c-d-t)+j(q+t-2b\pm\sqrt{k}))p^2+2((d+t-2c)\sqrt{k}\mp{n})ps+(2b-q-t\pm\sqrt{k})s^2$$

$$Y=(2n(2c-d-t)+j(2(a+c-d)-q-t\pm\sqrt{k}))p^2+2((d+t-2c)\sqrt{k}\mp{ n })ps+(q+t+2(d-a-c)\pm\sqrt{k})s^2$$

$$Z=(j(q+t-2b\pm\sqrt{k})-2n(2(a+b-q)-d-t))p^2+2((2(a+b-q)-d-t)\sqrt{k}\mp{n})ps+(2b-q-t\pm\sqrt{k})s^2$$

Или же в таком виде.

$$X=(2n(q+t-2b)+k(2c-d-t\pm\sqrt{j}))p^2+2((2b-q-t)\sqrt{j}\mp{n})ps+(d+t-2c\pm\sqrt{j})s^2$$

$$Y=(2n(2(a+c-d)-q-t)+k(2c-d-t\pm\sqrt{j}))p^2+2((q+t+2(d-a-c))\sqrt{j}\mp{n})ps+(d+t-2c\pm\sqrt{j})s^2$$

$$Z=(2n(q+t-2b)+k(d+t+2(q-a-b)\pm\sqrt{j}))p^2+2((2b-q-t)\sqrt{j}\mp{n})ps+(2(a+b-q)-d-t\pm\sqrt{j})s^2$$

Ясно, что и в этом уравнении необходимо рассмотреть эквивалентную квадратичную форму. $%p,s$% - целые числа задаваемы нами и могут могут быть любого знака.
Но всё равно даже в таком уравнении можно подобрать такие коэффициенты когда решений в целых числах быть не могут.

А теперь рассмотрим такое уравнение: $$aX^2+bX+cY^2+qY=jZ^2+dZ$$

Решения определяются уравнением Пелля: $%p^2-rs^2=1$%

Где коэффициент задаётся таким образом: $%r=(a+c)jk^2-2cjkt+(j-a)ct^2$%

$%k,t$% - любые целые числа задаваемые нами.

Тогда воспользовавшись решениями уравнения Пелля можно записать решения уравнения с Кривыми треугольными числами оно имеет такой вид:

$$X=(qt-dk)ps+((b+q)jk^2-(dc+qj)kt-(b-d)ct^2)s^2$$

$$Y=((d-b)t-dk)ps+((b+q)jk^2+(ad-(b+2q)j)kt+(j-a)qt^2)s^2$$

$$Z=(qt-(b+q)k)ps+((a+c)dk^2+((b-2d)c-aq)kt-(b-d)ct^2)s^2$$

И ещё такая формула.

$$X=\frac{1}{a+c-j}[(d-b-q)p^2+(((a+c+j)d-2(b+q)j)k+((j+c-a)q+2(b-d)c)t)ps+(j((a+c)d-(b+q)j)k^2+(2bcj+(j+c-a)jq-(a+c+j)cd)kt-c((b-d)c+(j-a)q)t^2)s^2]$$

$$Y=\frac{1}{a+c-j}[(d-b-q)p^2+((a+c+j)d-2(b+q)j)k+(2(j-a)q+(j+c-a)(b-d))t)ps+(j((a+c)d-(b+q)j)k^2+(((a+c-j)a-2cj)d+(j+c-a)jb+2j(j-a)q)kt+(a-j)((b-d)c+(j-a)q)t^2)s^2]$$

$$Z=\frac{1}{a+c-j}[(d-b-q)p^2+((2(a+c)d-(a+c+j)(b+q))k+((j+c-a)q+2(b-d)c)t)ps+((a+c)((a+c)d-(b+q)j)k^2+((a+c+j)cb-2(a+c)cd+(2cj-(a+c-j)a)q)kt-c((b-d)c+(j-a)q)t^2)s^2]$$

Всегда можно выбрать коэффициент при уравнении Пелля такой, чтоб он не был квадратом. Значит у уравнения будет всегда бесконечно много решений. При любых коэффициентах уравнения.

Забавно, что в уравнении Пелля коэффициенты при первой степени вообще не входят. Решения определяются коэффициентами второй степени. При первой степени входят непосредственно в саму формулу решений.